Colisão Elástica

Consideremos dois objetos que possuem elasticidade o suficiente para armazenar toda a energia recebida numa deformação sob forma de energia potencial elástica. Analisemos uma situação em que estes corpos, de massas m1 e m2 colidem frontalmente, conforme mostra abaixo.

Neste caso, há conservação da energia mecânica total do sistema, de modo que podemos escrever:

Emi = Emf (1.a)

Mas a energia mecânica total do sistema coincide com a energia cinética dos corpos envolvidos, que dá:

Eci = Ecf (1.b)

Considerando uma colisão frontal entre dois corpos, conforme mostrado na figura 01, podemos escrever:

Ec1i + Ec2i = Ec1f + Ec2f (1.c)

Em termos das massas e das velocidades das partículas, temos:

½.m1.v1i² + ½.m2.v2i² = ½.m1.v1f² + ½.m2.v2f²                          (1.d)

A quantidade de movimento linear Q deste sistema se conserva. Ou seja, a quantidade de movimento inicial é igual à quantidade de movimento linear final. Neste caso, temos:

Qi = Qf (2.a)

Para cada corpo, temos uma quantidade de movimento linear q:

q1i + q2i = q1i + q2f (2.b)

Que podemos escrever em função de suas respectivas massas e velocidades:

m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f (2.c)

Agora, façamos uma análise um pouco diferente. Se agruparmos os termos (v1i² – v1f²) e (v2f² – v2i²) da equação (1.d) e cancelarmos os fatores ½, comum a todos os termos, obteremos a seguinte expressão:

m1.(v1i² – v1f²) = m2.(v2f² – v2i²)                                       (3.a)

Podemos expandir os termos (v1i² – v1f²) e (v2f² – v2i²), e esta equação assume a forma:

m1.(v1i – v1f).(v1i + v1f) = m2.(v2f – v2i).(v2f + v2i)                                (3.b)

Reagrupando os termos (v1i – v1f) e (v2f – v2i) da equação (2.c) obteremos:

m1.(v1i – v1f)  = m2.(v2f – v2i)                                           (4.a)

Agora, dividimos a equação (3.b) pela (4.a). Desta forma, podemos obter uma expressão para as velocidades:

v1i + v1f = v2f + v2i (5.a)

Podemos reagrupar os termos que representam as velocidades finais:

v1i – v2i = – (v1f – v2f)                                                       (5.b)

Podemos isolar o termo v2f:

v2f = v1i – v2i + v1f (5.c)

A partir disso, podemos substituir os termos v1i – v2i + v1f na equação (4.a) e com isto, obter uma equação para determinar v1f em função das velocidades iniciais e das massas:

m1.(v1i – v1f)  = m2.( v1i – v2i + v1f – v2i)

Após os cálculos, obtemos:

m1.v1i – m1.v1f = m2.v1i – m2.v2i + m2.v1f – m2.v2i

Agora, levamos o termo dependente de v1f para o lado esquerdo da equação e deixamos os termos em v1i e v2i agrupados, do lado direito da equação, de modo que obtemos:

– m1.v1f – m2.v1f = m2.v1i – m1.v1i – m2.v2i – m2.v2i

Multiplicamos a expressão por (–1) e agrupando os termos semelhantes, em termos das massas obtemos:

(m1 + m2).v1f = (m1 – m2).v1i + 2.m2.v2i

Dividindo dos dois lados por (m1 + m2), obtemos:

v_{1f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \cdot v_{1i} + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) \cdot v_{2i}

 

Se a partícula m1 estiver em repouso, teremos somente:

v_{1f} = \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) \cdot v_{2i}

 

E se a partícula m2 estiver em repouso, teremos:

v_{1f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \cdot v_{1i}

 

Da mesma forma, podemos determinar a velocidade final da massa m2:

v_{2f} = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) \cdot v_{1i} + \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \cdot v_{2i}

 

Quando a partícula m1 está em repouso, teremos somente:

v_{2f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) \cdot v_{2i}

 

E se a partícula m2 está em repouso, teremos:

v_{2f} = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) \cdot v_{1i}

 

Se as massas das partículas m1 e m2 forem iguais, ocorre simplesmente a troca de velocidades. Ou seja:

v1f = v2i               e     v2f = v1i (8.a)

Se um dos corpos tiver massa muito maior, por exemplo: m2 > m1. Neste caso, teremos:

v1f ≈ –v1i + 2v2i         e         v2f ≈ v2i (9.a)

Se a partícula estiver em repouso ou se movendo com velocidade desprezível, obteremos:

v1f ≈ –v1i           e         v2f ≈ 0                              (9.b)

Se inverter as massas, de modo que m1 >> m2, teremos:

v1f ≈ v1i              e      v2f ≈ 2v1i – v2i (10.a)

Se a partícula m2 estiver em repouso ou se movendo com velocidade desprezível, obteremos:

v1f ≈ v1i e      v2f ≈ 2v1i (10.b)

Leia também:

Referências bibliográficas:
HALLIDAY, David,  Resnik Robert,  Krane, Denneth S.  Física 1,   volume 1,  4 Ed. Rio de Janeiro:  LTC,  1996.  326 p.

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