Colisão Inelástica

Por Glauber Luciano Kítor
Quando dois objetos se movimentam de forma a concorrer por uma mesma posição em um dado instante de tempo, costuma-se dizer que estão em rota de colisão. Ou seja, se pelo menos um dos objetos se movimenta com velocidade diferente de zero, de modo que no respectivo instante de tempo ele atinja o segundo objeto, diz-se que houve uma colisão entre os dois objetos, conforme mostra a figura 01.

Figura 1.

Em geral, a maioria das colisões são parcialmente ou totalmente inelásticas. Ou seja, a energia cinética não é conservada em sua totalidade. A energia mecânica inicial Emi é igual à soma das energias cinéticas dos objetos em movimento Ec1i + Ec2i dada pela expressão:

Emi = Ec1i + Ec2i (1.a)

Que pode ser escrita em função das massas e das velocidades, como segue:

Emi = (1/2).(m1.v1i2 + m2.v2i2)           (1.b)

A energia total depois da colisão é a soma da energia cinética e potencial, mais a energia dissipada pelo trabalho realizado na deformação dos objetos incluindo a energia sonora desprendida.

Em todos os casos a quantidade de movimento linear é conservada. Desta forma, podemos escrever para qualquer colisão:

Qi = Qf (2.a)

Para dois corpos, teremos:

q1i + q2i = q1f + q2f (2.b)

Desta forma, em função das massas e das velocidades podemos escrever:

m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f (2.c)

Consideremos uma colisão totalmente inelástica. Sendo assim, os dois objetos irão se movimentar com a mesma velocidade final vf, de modo que:

vf = v1f = v2f (3.a)

Se substituirmos os termos v1f e v2f por vf da expressão para os momentos, teremos:

m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf (4.a)

Desta forma, isolando vf, obteremos a seguinte expressão para a velocidade final do sistema:

vf = [m1/(m1 + m2)].v1i + [m2/ (m1 + m2)].v2i (4.b)

Se uma das velocidades iniciais for zero, um dos termos do lado direito da equação some. Supondo v2i =0, por exemplo, teremos somente:

vf = [m1/ (m1 + m2)].v1i (4.c)

No caso do pêndulo balístico, por exemplo, temos uma colisão inelástica. Ou seja, a bala, que chamaremos de m1 penetra no bloco, que chamaremos de m2, e este absorve a energia cinética do projétil. Parte da energia cinética do projétil é transformada em energia potencial gravitacional, do sistema de massas bloco e projétil, conforme mostra a figura 02.

Este é um caso típico em que pode ser aplicada a segunda expressão para determinar a velocidade com que o projétil se deslocava, ou seja, a velocidade inicial do projétil, v1i. Mas primeiro calculamos a velocidade final do projétil vf imediatamente após a colisão inelástica. Neste caso, teremos que escrever uma equação para a energia cinética imediatamente após a colisão e uma equação para a energia potencial adquirida quando o sistema bloco-projétil eleva-se a uma altura máxima h. Neste caso a energia mecânica total se conserva, e podemos escrever a igualdade entre a energia cinética inicial e a energia potencial final. A expressão assume a forma:

½.(m1 + m2).vf² = (m1 + m2).g.h                                 (5.a)

Que dá:

vf² = 2.g.h                                                                    (5.b)

Que equivale a:

v_f = \sqrt{2gh}         (5.c)

Primeiramente isolamos v1i da expressão (4.c), e obtemos:

v1i = [(m1 + m2)/m1]. vf (4.d)

Substituindo vf da expressão (5.c) na expressão (4.d), obteremos a expressão para determinar a velocidade inicial do projétil a partir da altura h e da massa do projétil e da massa do bloco:

v_{1i} = \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1} \right) \cdot \sqrt{2gh}    (6.a)

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Referências bibliográficas:
HALLIDAY, David,  Resnik Robert,  Krane, Denneth S.  Física 1,   volume 1,  4 Ed. Rio de Janeiro:  LTC,  1996.  326 p.