Cone

Cone é o conjunto de todos os segmentos que ligam os pontos de um círculo (base) a um ponto fora do plano em que ele está contido.

Elementos e classificação do cone

Elementos:

  • Vértice (V): ponto fora do plano da base e que pertence a definição de cone.
  • Eixo: é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base.
  • Altura (h): é a distância entre o vértice e o plano da base.
  • Raio (r): é o raio da base.

Classificação

  • Cone reto: eixo perpendicular ao plano da base.
  • Cone oblíquo: eixo oblíquo ao plano da base.

Geratrizes

Geratrizes do cone são segmentos com extremidades no vértice e na circunferência da base. Seguindo os exemplos dos cones acima, observe algumas de suas geratrizes:

Observação: No caso do cone reto, as geratrizes são congruentes.

Considerando um cone reto de raio da base r, altura h e geratrizes medindo g. O desenho abaixo mostra um triângulo retângulo que podemos formar:

Então, pelo teorema de Pitágoras, temos que:

g^2 = h^2 + r^2

O cone como sólido de revolução

Os cones podem ser obtidos girando-se uma região triangular. Segue formação de um cone reto:

Isso faz com que o cone também seja chamado de sólido (ou corpo) de revolução.

Área externa do cone

Considerando um cone reto de raio da base r, altura h e geratrizes medindo g. A planificação desse cone mostra que ele é formado por:

  • Base: um círculo de raio r.
  • Lateral: um setor circular de comprimento de arco 2 \pi r e raio g (geratriz).

Importante: não confundir o raio da base com o raio do setor circular! No nosso exemplo, r é o raio da base e g é o raio do setor circular.

  • Área da base: \pi r^2 é a área do círculo.
  • Área da lateral: área de setor circular de comprimento do arco 2 \pi r e raio g: \frac{\text{comprimento de arco} \times \text{raio}}{2} = \frac{2 \pi \cdot r \cdot g}{2} = \pi rg

Portanto, a área externa (ou total) do cone é:

A_{\text{externa}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = \pi r^2 + \pi rg = \pi r(r+g)

Volume do cone

O volume do cone (V), assim como das pirâmides, é um terço da multiplicação da área da base pela altura. Dado um cone de raio da base r e altura h, a área da base (círculo) é \pi r^2 e o volume do cone será \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h.

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