Cone

Por Thyago Ribeiro
Considere um plano α, um circulo de centro O e raio R contido em α e um ponto V fora dele:

Chamamos cone circular o sólido determinado pela reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e outra no circulo.

Todo segmento que passa por V e tem extremidade na circunferência da base é denominado geratriz do cone, e o segmento que une o vértice V ao centro O da base é chamado eixo do cone. A distância de V ao plano α é a altura h do cone.

Classificação

Um cone é classificado segundo a inclinação do eixo VO:

- reto: quando o eixo VO é perpendicular à base;

Todo cone reto pode ser obtido pela rotação de um triângulo em torno de um de seus catetos. Por isso o cone reto também é chamado de cone de revolução.

- oblíquo: quando o eixo não é perpendicular à base.

Secção meridiana do cone reto

Chamamos secção meridiana do cone a interseção do cone com um plano que contém seu eixo:

Quando a geratriz de um cone reto é igual a 2R, a secção meridiana é um triângulo de lado 2R e esse cone é denominado cone equilátero.

Áreas e volume do cone reto

A área lateral de um cone reto é calculada a partir da área de um setor circular. Vamos, portanto, determinar inicialmente a área Sse de um setor circular determinado por um ângulo central α num circulo de raio r.

Para isso, estabelecemos uma regra de três simples em que r é o raio da circunferência e l o comprimento do arco correspondente ao ângulo α:

2πr -> πr2
l -> Sse

A partir dessa proporcionalidade, temos:

Sse = (l.r) / 2

Quando planificamos a superfície lateral de um cone, obtemos um setor circular:

Chamando R o raio da base e g a geratriz do cone, temos:

 

S_l = \frac{lr \cdot r}{2} \rightarrow S_l = \frac{2\pi R \cdot g}{2}

 

S_l = \pi R g

 

Como a área da base é:

 

S_b = \pi R^2

 

A área total será

 

S_t = \pi R^2 + \pi R g

 

O principio de Cavalieri diz que o volume do cone corresponde à terça parte do volume de um cilindro com a mesma altura e com o mesmo raio da base:

V = \frac{1}{3} S_b \cdot h

ou

V = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot h

Note que a relação entre o volume do cone e o do cilindro é a mesma estabelecida para a pirâmide e o prisma.