Cálculo do perímetro e área de polígonos

Dada uma sequência de pontos de um plano (A₁, A₂, ..., A_n) com n ≥ 3, todos distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, considerando-se consecutivos A_n-1, A_n, e A₁, assim como A_n, A₁ e A₂, chama-se polígono à reunião dos segmentos A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄, ... A_n-1A_n, A_nA₁.

Considerando o polígono A₁, A₂, A₃, ..., A_n, A_n-1, temos:

os pontos A₁, A₂, A₃, ... , A_n-1, A_n são os vértices do polígono

os segmentos A₁A₂, A₂A₃, ... , A_n-1A_n, A_nA₁ são os lados do polígono; e os ângulos

Â₁ = A_nÂ₁A₂, Â₂ = A₁Â₂A₃, Â_n = A_n-1Â_nA₁

são os ângulos do polígono.

Dois lados que têm um vértice comum (ou uma extremidade comum) são lados consecutivos.

Dois lados não consecutivos não têm vértice (ou extremidade) comum.

Dois ângulos de um polígono são consecutivos se têm um lado do polígono comum.

Um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos.

A soma dos lados é o perímetro do polígono.

Perímetro de A₁ A₂ A₃ ... A_n-1 A_{n =} A₁A₂+ A₂A₃ + A_n-1A_n + A_nA₁

Polígono convexo e polígono côncavo

Um polígono é um polígono convexo se, e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais (n -2) vértices num mesmo plano dos dois que ela determina.

Se um polígono não é polígono convexo, dizemos que ele é um polígono côncavo.

Polígono regular

Um polígono que possui os lados congruentes é equilátero. Se possui os ângulos congruentes, é equiângulo.

Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os ângulos congruentes (é equiângulo).

Nome dos polígonos

De acordo com o número n de lados, os polígonos recebem nomes especiais.

Perímetro de polígonos regulares

Perímetro = a + b + c

Perímetro = 4 L

Perímetro = 2a + 2b

Perímetro = 2a + 2b

Perímetro = 4L

Perímetro = a + b + c + B

Medida da área de um polígono regular qualquer

Um modo de obter a medida da área de um polígono regular é por meio de sua decomposição em triângulos congruentes. O pentágono regular, por exemplo, pode ser decomposto em 5 triângulos. Observe a figura abaixo.

Um polígono regular com um número n qualquer de lados pode ser decomposto em n triângulos congruentes.

A altura de cada um dos triângulos corresponde ao apótema de medida de comprimento a do polígono regular inscrito na circunferência. Portanto, a medida da área de cada um dos n triângulos é dada por $A_{\text{triangulo}}=\frac{l\cdot a}{2}$.

Assim, a medida da área total do polígono regular é:

$A_{\text{poligono regular}}=n\cdot\frac{l\cdot a}{2}$

$A_{\text{poligono regular}}=\frac{n\cdot l}{2}\cdot a$

O semiperímetro é a medida da metade do perímetro. No caso de um polígono regular de n lados, o semiperímetro (p) é dado por:

$p=\frac{n\cdot l}{2}$

Assim , temos:

$A_{\text{poligono regular}}=\frac{n\cdot l\cdot a}{2}=p\cdot a$

A medida da área de um polígono regular é igual ao produto do semiperímetro pela medida do apótema:

$A_{\text{poligono regular}}=p\cdot a$

Referências bibliográficas:

1. A. Caminha. Tópicos de Matemática Elementar, Volume 2: Gemoetria Euclidiana Plan.Rio de Janeiro, SBM, 2013.

2. O. Dolce e J. N. Pompeo. Os Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 9: Geometria Plana. São Paulo, Atual editora, 2012.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/calculo-do-perimetro-e-area-de-poligonos/