Dízimas Periódicas

Por Robison Sá
Ao habituarmo-nos a calcular com quantidades inteiras, sentimos um pouco de dificuldade ao ter que operar com partes do inteiro. Muitos desses números nos soam estranhamente, isso tudo por conta da força do hábito. O fato é que temos que inserir nos nossos conhecimentos matemáticos esses novos números, mesmo que “estranhos”, responsáveis por representar fragmentos do todo.

Todos já ouvimos frases do tipo: “Um pirulito deste custa dez centavos”; “Comprei um quilo de arroz por R$ 3,50”; “Eu e meus nove amigos compramos uma pizza. Vamos dividi-la igualmente e devorá-la”.

  • Na primeira frase poderíamos representar “dez centavos” com o número 10/100  ou 0,10, ou ainda por R$ 0,10.
  • Na segunda frase, o número “3,50” pode ser também representado por 350/100 ou ainda por 7/2.
  • Na segunda frase, no exemplo da pizza, como o grupo de amigos é formado por 10 pessoas, seria necessário dividir a pizza em 10 partes. O número que representaria esta divisão seria 1/10 ou ainda na forma decimal: 0,1.

O conjunto dos números racionais (Q)

Os números dos exemplos anteriores pertencem ao Conjunto dos Números Racionais (Q). Esses números, ora são apresentados na forma de fração, ora na forma decimal. Vejamos a definição de números racionais:

Número racional é aquele que pode ser escrito na forma a/b, onde a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0.

conj racionais

Observem a leitura desta definição: número racional é aquele que pode ser escrito na forma a sobre b (a dividido por b), onde a pertence ao conjunto dos números inteiros (a ∈ Z) e b pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos (b ∈ Z*).

Dízimas e exatos

Um número racional pode receber duas classificações: decimal exato e dízima periódica.

Um número decimal exato é resultado de uma divisão cujo resto é zero. Já a dízima periódica é resultado de uma divisão cujo quociente é infinito, mas repete-se num período. O período é formado pelos números que se repetem infinitamente; a fração correspondente à dízima é chamada de fração geratriz. Vejamos alguns exemplos:

dizimas1

 

Encontrando dízimas periódicas e números exatos

Numa fração a/b, onde a ∈ Z, b ∈ Z e b  0, ao dividirmos a por b, encontraremos um número exato ou uma dízima periódica. A seguir, serão resolvidos alguns exercícios para que o estudante possa compreender o mecanismo de divisão entre numerador (número de cima) e denominador (número de baixo) de uma fração.

Exercício 1

- Encontre a forma decimal da fração 4/5.

* Inicialmente, compreenda que 4/5  é o mesmo que 4:5 (4 dividido por 5)

dizimas2

 

Exercício 2

Determine a forma decimal da fração 174/45

dizimas3

 

Portanto, o número decimal correspondente à fração 174/45 é 3,86.

Exercício 3

Escreva a fração correspondente à figura abaixo, em seguida dê a sua representação decimal.

dizimas4

 

O número de partes pintadas corresponde ao numerador da fração; o número total de partes corresponde ao denominador.

dizimas5

 

Para encontrar o número decimal correspondente a fração 5/12 basta seguirmos o método anterior.

dizimas6

“Não há dificuldade que não possa ser superada pela persistência”

(Robison Sá)

Referência bibliográfica:
SOUZA, JOAMIR ROBERTO DE. Novo olhar matemática. – 1. ed. – São Paulo: FTD, 2010. – (coleção novo olhar: v. 1)