Equação do segundo grau

A equação do segundo grau, também chamada de equação quadrática, é expressada por:

ax^2 + bx + c = 0

Observe que o maior grau da equação é dado pelo expoente do termo ax², por esse motivo a equação é do segundo grau. Chamamos de incógnita os valores desconhecidos como x, y e z. Já a, b e c são números reais chamados de coeficientes.

As equações do segundo grau podem ser do tipo completa ou incompleta. O que determina isso são os coeficientes b e c. Lembre-se sempre que o coeficiente a deve ser diferente de zero, caso não seja a equação não será do segundo grau. Veja como podemos representar a equação completa e incompleta.

Equação do segundo grau completa

Para uma equação ser considerada completa, os coeficientes a, b e c, devem ser diferentes de zero, ou seja: a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. Com isso a equação do segundo grau possui a seguinte estrutura: ax^2 + bx + c = 0. Acompanhe os exemplos a seguir:

2x^2 + 4x + 1 = 0

a = 2, b = 4, c = 1

y^2 + 3y + 6 = 0

a = 1, b = 3, c = 6

Equação do segundo grau incompleta

Quando a equação é incompleta os coeficientes b e c podem ser iguais a zero, ou seja, b = 0 e c = 0. Veja os exemplos:

x^2 - 4 = 0

a = 1, b = 0, c = - 4

3y^2 + 6x = 0

a = 3, b = 6, c = 0

5z^2 = 0

a = 5, b = 0, c = 0

Resolvendo a equação do segundo grau

O objetivo de se resolver uma equação do segundo grau é encontrar os valores reais que a incógnita assume. Esses valores são chamados de raízes da equação, como ela é do segundo grau deve possuir duas raízes reais diferentes ou idênticas.

Fórmula de Bhaskara

Para solucionarmos a equações do segundo grau seja ela completa ou incompleta, podemos utilizar a seguinte fórmula:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2a}

Fórmula de Bhaskara completa

A fórmula de Bhaskara pode ser escrita de forma resumida, explicitando o discriminante, ou seja, delta (Δ).

\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c

Fórmula do discriminante (Δ)

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Fórmula de Bhaskara Resumida

Aplicando a fórmula de Bhaskara

Exemplo: Resolva a equação do segundo grau: 4x² + 4x + 1 = 0, utilizando a formula de Bhaskara resumida.

4x² + 4x + 1 = 0
a = 4, b = 4, c = 1

\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c

\Delta = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1

\Delta = 16-16 = 0

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 4}

x = \frac{-4 \pm 0}{8} = \frac{-4}{8} = \frac{-1}{2}

As raízes dessa equação do segundo grau são idênticas, sendo assim:

x^{\prime} = \frac{-1}{2}

x^{\prime\prime} = \frac{-1}{2}