Equação fundamental da reta

A equação fundamental da reta possui coeficiente angular que é representado por m. Para que possamos encontra-lo, é necessário utilizar as coordenadas referentes aos pontos da reta. Podemos definir essa equação da seguinte forma:

Seja r uma reta não vertical que passa pelos pontos P(x0, y0) e Q(x, y), com coeficiente angular m; a equação fundamental da reta é dada por:

y - y_0 = m . (x - x_0)

Essa equação representa todos os pontos do plano cartesiano que pertencem à reta.

Para compreender melhor como obtemos essa fórmula, observe o gráfico a seguir:

equacao-fundamental-da-reta

Veja que a distância no eixo vertical (ordenada) é representada por:

D_y = y - y_0

Já a distancia no eixo horizontal (abscissa) é dado por:

D_x = x - x_0

Para calcularmos o coeficiente angular (m), utilizamos a seguinte fórmula:

m = \frac{y - y_0}{x - x_0}

Exemplo 1: Obtenha a equação da reta r que passa pelo ponto P(x0, y0) = P(- 3, 1) e possui coeficiente angular m = 2.

Dados da questão:

  • x0 = - 3
  • y0 = 1
  • m = 2

Substitua os valores x0, y0, m; na equação fundamental da reta.

y – y0 = m . (x – x0)

y – 1 = 2 . [x – (- 3)]

y – 1 = 2 . [x + 3]

y – 1 = 2x + 6

- 2x + y – 7 = 0

Exemplo 2: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(- 2, - 3) e B( -1, + 5).

Dados da questão:

  • A(- 2, - 3) → x0 = - 2 e y0 = - 3
  • B( -1, + 5) → x = - 1 e y = + 5
  • m = ?

Aplique a formula para calcular coeficiente angular e substitua as coordenadas dos pontos A e B.

m = \frac{y - y_0}{x - x_0}

m = \frac{5 - (-3)}{-1 -(-2)}

m = \frac{5+3}{-1+2}

m = \frac{8}{1} = 8

Para encontrar a equação da reta, substitua o valor do coeficiente angular (m = 8) e das coordenadas do ponto A na equação geral da reta.

y – y0 = m . (x – x0)

y – (- 3) = 8 . [x – (– 2)]

y + 3 = 8 . [x + 2]

y + 3 = 8x + 16

– 8x + y – 13 = 0

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