Equações fracionárias

Definição: equação fracionária é aquela que possui, pelo menos, um termo que é uma fração algébrica – aquela que possui incógnita no denominador.

Exemplos:

1) \frac{1}{x} + 3 = 1 \text{ , com } x \neq 0

2) \frac{4}{x-1} = \frac{5}{x-2} \text{ , com } x \neq \{1,2\}

3) \frac{4}{x} - \frac{16}{5x} = \frac{8}{3} \text{ , com } x \neq 0

Observe as condições dadas em cada exemplo. Elas são indispensáveis para que os denominadores não se tornem iguais à zero.

Resolvendo equações fracionárias

Apesar de parecer complexa, a resolução das equações fracionárias é simples, bastando apenas seguir alguns passos para encontrar a resposta desejada. Em seguida, mostrarei esses passos em exemplos resolvidos, onde você poderá fixar o conceito aprendido anteriormente.

Veja a solução de cada equação dada nos três exemplos iniciais deste trabalho:

1) \frac{1}{x} + 3 = 1 \text{ , com } x \neq 0

equacao fracionaria → multiplica-se os termos por x (único termo do denominador). Assim poderemos eliminar o denominador da fração algébrica.

1 + 3x = x → resolva a equação simples

3x - x = -1

2x = -1 \rightarrow x = -\frac{1}{2} → solução.

Observe que, inicialmente, deverá reduzir a equação fracionária a uma equação simples, para assim facilitar o trabalho de resolução.

2) \frac{4}{x-1} = \frac{5}{x-2} \text{ , com } x \neq \{1,2\}

Para reduzir esta equação fracionária a uma equação simples, multiplique os termos pelo produto (x – 1). (x – 2) < MMC entre os denominadores >. Assim os denominadores são eliminados, tornando esta equação simples de resolver.

\frac{4}{x-1} = \frac{5}{x-2}

equacao fracionaria2 → multiplique (x – 1).(x – 2) por todos os termos e cancele os temos iguais, para eliminar os denominadores.

equacao fracionaria3 → propriedade distributiva da multiplicação.

4x - 8 = 5x -5

4x - 5x = -5 + 8 \rightarrow -x = 3 \rightarrow x = -3

Se quiser provar que –3 é solução verdadeira, substitua-o em x na equação inicial. Se ambos os lados da igualdade forem iguais, a solução – 3 é verdadeira.

3) \frac{4}{x} - \frac{16}{5x} = \frac{8}{3} \text{ , com } x \neq 0

equacao fracionaria4 → multiplique (x)(5x)(3) pelos termos. Esse procedimento irá eliminar os denominadores.

5x . 3 . 4 – x . 3 . 16 = x . 5x . 8

60x – 48x = 40x2

40x2 = 12x → 40x2 – 12x = 0 → simplifique por 4.

10x2 – 3x = 0

x (10x – 3) = 0 → forma fatorada da equação quadrática anterior

x = 0 → primeira raiz – descartada, pois x deve ser diferente de zero (x ≠ 0) para que os denominadores não se anulem.

10x – 3 = 0 → 10x = 3

x = \frac{3}{10} → solução válida.

Portanto, o valor de x que torna a sentença \frac{4}{x} + \frac{16}{5x} = \frac{8}{3} verdadeira é \frac{3}{10}.

“Aquele que não busca a aprendizagem, é cego de olhos saudáveis.”

(Robison Sá)

Referências bibliográficas:
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios, 8º ano. – 17. ed. – São Paulo: Saraiva, 2012.
PROJETO ARARIBÁ. Matemática, 8º ano. –3. ed. – São Paulo: Moderna, 2010.

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