Equações impossíveis e identidades

Por mais estranho que o título deste trabalho pareça, ele representa o tipo de equação que iremos tratar. Podemos dizer que é possível chegar à solução de uma equação quando encontramos valores que, substituídos na incógnita, satisfaçam a sentença. Mas o que são equações impossíveis?

Para responder a pergunta anterior, proponho a análise da questão que se segue.

Exemplo 1: Determine, em R, a solução para a equação x2 + 12 = 3.

\\x^2 + 12 = 3 \\ x^2 = 3 - 12 \\ x^2 = -9 \\ x = \pm \sqrt{-9}

Obs.: a solução para esta equação é impossível, pois 1) a raiz quadrada de um número negativo, dentro do conjunto dos números reais, simplesmente não existe; 2) Um número elevado ao quadrado tem resultado sempre positivo.

Equações impossíveis

Equações impossíveis são aquelas para as quais não conseguimos encontrar valores que substituídos na (s) incógnita (s) satisfaçam a equação. A equação destacada acima representa um modelo de equação impossível.

Exemplo 2: Resolva, no conjunto dos números reais, a equação u(u + 2) = 2u – 36.

equacoes impossiveis

u = \pm \sqrt{-36} \rightarrow \text{solu\c{c}\~{a}o imposs\'{i}vel, pois } \sqrt{-36} \notin \mathbb{R}

Perceba que a impossibilidade de solução já se percebe quando u2 = - 36, pois um número elevado ao quadro tem resultado sempre positivo. Em seguida, essa impossibilidade se confirma, quando aparece u = \pm \sqrt{-36}, visto que esta raiz não está inserida no conjunto dos números reais.

Exemplo 3: Encontre os valores de x para que a sentença x + 4 = x – 1 seja verdadeira.

x + 4 = x – 1

x – x = - 1 – 4

0 = - 5 → solução impossível

Veja que estamos procurando um valor para x tal que esse valor mais 4 seja igual ao mesmo valor menos 1; esse valor não existe. Ao prosseguir com a resolução, nos deparamos com a falsa igualdade 0 = - 5, sendo verdade que 0 ≠ -5. Por estes motivos, a solução desta equação é impossível.

Equações identidades

É toda equação que admite múltiplas soluções. Confira os exemplos a seguir.

Exemplo 4: Encontre a solução da equação 2x + 4 = 2(x + 2).

2x + 4 = 2(x + 2)

2x + 4 = 2x + 4

2x – 2x = 4 – 4

0x = 0

Veja que podemos atribuir qualquer valor a x para que a sentença seja verdadeira, lembrando que todo número multiplicado por zero é sempre igual à zero. Como a equação admite múltiplas soluções, dizemos que essa é uma equação identidade.

“Fuja dos falsos caminhos que prometem levá-lo ao paraíso”.

(Robison Sá)

Referência bibliográfica:
IMENES, Luiz Márcio. Matemática, v. 4. – 2 ed. – São Paulo: Moderna, 2012.

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