Escala logarítmica

Antes de apresentarmos o conceito de escala logarítmica, vamos definir o que é uma escala linear. Uma escala aritmética é qualquer trecho de curva (em geral uma reta) marcada por traços, os quais estão em correspondência com valores ordenados de uma grandeza. Em outras palavras, uma escala aritmética é aquela em que podemos listar os números onde, partindo do zero, o próximo número será sempre o anterior mais a soma de uma constante que podemos definir para a nossa escala. Por exemplo, se quiséssemos construir uma escala aritmética onde a partir do zero nós somássemos 1 a cada número teríamos a seguinte representação na reta:

Agora, vamos construir uma escala aritmética onde, também partindo do zero, somamos 10 ao seu anterior:

Podemos construir escalas aritméticas utilizando esta mesma regra e variando apenas o parâmetro da escala, ou seja, se quisermos somar cada anterior por 2, 17, $\sqrt{2}$, ou qualquer outro número real à escolha construiríamos uma escala aritmética.

Construção da Escala Logarítmica

ma escala logarítmica, ao contrário de uma soma, pode ser construída a partir de uma multiplicação de um número, mais especificamente a multiplicação por 10, ou potências de 10. Porém nossa escala, pela operação de logaritmos, não assumirá valores negativos. Veja:

$\log a=x \Longrightarrow 10^x = a$

$a>0$

Lembrando que, se o a base de um logaritmo não está especificada, a mesma corresponde à 10. Vamos formalizar este conceito:

A construção de uma escala logarítmica corresponde à divisão de um determinado segmento de reta em partes proporcionais aos valores dos logaritmos dos números numa determinada base (no nosso exemplo utilizaremos a base 10). Considere um segmento de reta que possui um comprimento L e que desejamos dividi-lo em partes proporcionais aos logaritmos na base 10 dos números n = 1, 2, 3, ..., 10, ..., 100:

Pela definição formal do módulo de uma distância de uma escala logarítmica, temos:

$M=\frac{|\Delta L_n|}{|\Delta f(x)|}=\frac{|L_2 - L_1|}{|\log x_2 - \log x_1|} = \frac{\Delta L}{\log \frac{x_2}{x_1}}$

Onde:

• M é a constante de proporcionalidade entre passo e o degrau;
• L_n é o passo, ou distância n entre dois pontos (x₁ e x₂);
• f(x) é a função logarítmica na base 10 de qualquer número na reta.
• Δ é a variação destes parâmetros.

Aplicando este conceito acima para a construção de uma escala logarítmica na base 10, podemos então considerar no segmento que a distância entre dois pontos será dada pela multiplicação de 10 pelo seu anterior, ou seja, a variação entre eles é igual a 10:

Provando este fato, temos:

$M=\frac{|\Delta L|}{|\Delta f(x)|}=\frac{|L_{10^{n+1}}-L_{10^n}|}{|\log 10^{n+1}-\log 10^n |}=\frac{L_10}{\log \frac{10^{n+1}}{10^n}}=\frac{L_{10}}{\log 10}=L_{10}$

Concluindo então que a distância entre dois pontos consecutivos numa escala logarítmica de base 10 é sempre o ponto anterior multiplicado por 10. Para ajudar na construção de uma escala logarítmica, podemos pensar que os números desta escala à partir do 1 estão em Progressão Geométrica de razão igual a 10, e os números entre zero e um na escala estão em P.G. de razão igual a $\frac{1}{10}$:

As escalas logarítmicas são ótimas para revelar mais detalhes nas informações do gráfico de uma função. Um exemplo do uso das escalas logarítmicas é a Escala Richter, que mede a intensidade de terremotos e movimento da crosta terrestre. Se a Escala Richter fosse orientada por uma escala aritmética, então não seriam capazes de revelar diversos detalhes que são observados na logarítmica.

­­­ Referências Bibliográficas:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2011.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 4: São Paulo: Editora Atual, 2013.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/escala-logaritmica/