Fatoração

Fatorar significa transformar a soma e a subtração de expressões algébricas ou equações em um produto com fatores. Podemos entender a fatoração como sendo a simplificação das sentenças matemáticas. Existem sete casos de fatoração, confira a seguir alguns deles.

Fator comum em evidência

Esse caso de fatoração é determinado pela fórmula:

ax + bx = x \cdot (a + b)

Veja que o termo a ser colocado em evidência foi o x, pois ele se repete na composição do monômio ax e bx.

Exemplos:

6x + 6y = 6 \cdot (x + y)

2ax - 3bx = x \cdot (2a - 3b)

cx^2 + bx = x \cdot (cx + b)

Observe que nesse exemplo o x de menor grau foi colocado em evidência.

Agrupamento

A fórmula geral que estabelece o agrupamento é dada por:

ax + bx + ay + by = (x + y) \cdot (a + b)

Sendo que:

ax + bx + ay + by = x \cdot (a + b) + y \cdot (a + b) = (x + y) \cdot (a + b)

Observe que nesse caso de fatoração não há um fator que será comum a todos os termos, temos somente fatores que são comuns a alguns termos.

Exemplos:

2x + 8x +2y + 8y =

= x \cdot (2 + 8) + y \cdot (2 + 8) =

= (2 + 8) \cdot (x + y)

5z + 2z + 5x + 2x =

= 5z + 5x +2z + 2x =

= 5 \cdot (z + x) +2 \cdot (z + x) =

= (5 + 2) \cdot (z + x)

Diferença de dois quadrados

Confira a seguir a fórmula geral desse caso de fatoração:

a^2 -b^2 =(a+b) \cdot (a-b)

Observe que esse caso de fatoração é o inverso do produto notável Soma pela Diferença de Dois Quadrados, representado por: (a+b) \cdot (a-b) = a^2 -b^2  . Acompanhe a seguir alguns exemplos da Diferença de Dois Quadrados:

Exemplos:

36x^2 - 81y^2 =

= (6x)^2 - (9y)^2 =

= (6x + 9y) \cdot (6x - 9y)

4x^2 - 9z^2 =

= (2x)^2 - (3z)^2 =

= (2x + 3z) \cdot (2x - 3z)

Trinômio quadrado perfeito

Esse caso de fatoração é o inverso dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois termos e Quadrado da diferença de dois termos. O Trinômio quadrado perfeito possui representação tanto na soma como na diferença. Acompanhe a seguir as suas fórmulas gerais.

Diferença: a^2 -2ab+b^2 =(a-b)^2

Soma: a^2 +2ab+b^2 =(a+b)^2

Façamos agora um exemplo de cada caso:

Exemplos:

Diferença: 9y^2 - 12y + 4 =

= (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 2 + (2)^2 =

(3y - 2)^2

Isso por que: 9y^2 = (3y)^2

12y = 2 \cdot 3y \cdot 2

4 = (2)^2

Soma: 16x^2 + 40x + 25 =

= (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 5 + (5)^2 =

(4x + 5)^2

Isso por que: 16y^2 = (4y)^2

40x = 2 \cdot 4x \cdot 5

25 = (5)^2

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