Função Polinomial

Por Evandro Makiyama
Uma Função Polinomial é uma função dada por um polinômio, ou seja, para todo x pertencente ao domínio da função, encontramos o valor de y na imagem da função calculando o valor de  um polinômio no valor de x do domínio.

Exemplos:

y=3x<sup>3</sup>+2

y=(3x^3)+2

f(x)=2x-1

f(x)=2x-1

g(x)=(4x^5)+(πx^2)-3

g(x)=(4x^5)+(πx^2)-3

y=9

f(x)=0

O grau de um polinômio é o maior expoente da variável x. Nos casos acima, os graus são respectivamente: 3, 1, 5, 0 e para o último caso (polinômio nulo) não definimos grau.

Quando multiplicamos dois polinômios f(x) e g(x), o resultado é um polinômio que tem grau igual à soma do grau de ambos.

A soma de dois polinômios f(x) e g(x) tem grau menor ou igual ao maior do grau de ambos.

A divisão de dois polinômios f(x) e g(x) em geral não é um polinômio. No caso de ser polinômio, dizemos que g(x) divide f(x).

Quando dizemos que um polinômio p(x) pertence a Z[x],R[x] ou C[x] significa que seus coeficientes são números inteiros, reais ou complexos respectivamente.

Se p(x) é um polinômio de grau n, então  pelo Teorema Fundamental da Álgebra ele possui n raízes complexas, ou seja, existem n valores,repetidos ou não, tal que o polinômio se a nula (p(x)=0 ) neles

Os exemplos mais importantes de funcões polinomiais são:

A função constante , que é uma função polinomial de grau 0,

f(x)=k, k constante, e  que assume o mesmo valor k para todo x no domínio de f.

A função afim, f(x)=ax+b, a≠0, é uma função polinomial de grau 1 com b≠0.

No caso de b=0 então f(x)=ax ,e a função é dita linear, exemplo importantíssimo pois nesse caso, vale:

f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y) → f(x+y)=f(x)+f(y), aditividade. e

f(kx)=a(kx)=k(ax)=k.f(x) → f(kx)=k.f(x) xDom f, homogeneidade.

Se a>0, então a função afim é crescente e se a<0 ela é decrescente.Vamos dar um exemplo:

Seja  f(x)=2x-4 , função afim crescente. Para fazer seu gráfico basta obter dois pontos. Podemos escolher os pontos, vamos tomar x=0 e x=2. Então f(0)=-4 e f(2)=0,assim o gráfico  de f representa uma reta que passa pelos pontos (0; -4) e (2; 0) no plano cartesiano, como abaixo:

funcao polinomial4

Outro exemplo de grande utilidade e importância de função polinomial é  a função quadrática f(x)=ax^2+b^x+c, a≠0, que tem grau 2, cujo gráfico é uma parábola.

Bibliografia:
História da Matemática, Carl B. Boyer