História e Juros Simples (matemática financeira)

Por mausim
Curso de Matemática Financeira

Por que essa chatice de juros simples e juros compostos? Por que foram inventar essas coisas tão complicadas? Algum matemático, sádico, na calada da noite inventou essa tortura de letras e números para apavorar os estudantes? Será uma invenção do torturador Torquemada? (Tomaz de Torquemada ("a Turrecremata", em latim))

Mas... Sabe que não inventaram isto como algo para dificultar a vida das pessoas e nem é nada complicado?
Pelo contrário, saiu de gente simples do comércio de esquina.

Se você quiser argumentar que M=c(1+i)^n não é coisa de gente da esquina, eu lhe digo que é sim.
Ali naquela 'apavorante' fórmula só tem as quatro operações fundamentais e mais uma potenciação, que é uma multiplicação (uma das fundamentais) disfarçada.

Então, para entendê-la, basta você saber ler na língua portuguesa e saber fazer as quatro operações. O resto é História.

Veja bem, História, com agá maiúsculo, pois não é 'história' como um engodo, mas conhecimento popular acumulado e refinado.
E aqui há um ponto muito importante: a História.

Então, vamos a ela.

Mas começaremos pelos juros simples (ademais, juros compostos na verdade nem existem; o que existe é juro simples repetido de forma especial, como veremos em outro artigo).

Todos nós devemos procurar a história das coisas, pois o que nos chega hoje vem empacotado, disfarçado, uma verdadeira caixa-preta, a qual, na nossa idéia, só pode ser aberta por mãos consagradas, os gênios.
Mas nada disso. Tudo que sabemos hoje, das coisas mais avançadas às mais simples, vêm dos primeiros pensamentos simples, do dia-a-dia, que vão sendo esquematizados ao longo do tempo para uso DAQUELES QUE SABEM SUA HISTÓRIA; SUA ORIGEM.

Não foi a Matemática que inventou a prática; foi o contrário disto.
Assim, para entendermos bem os cálculos de porcentagem é necessário sabermos a história da coisa.

Não fique impaciente: não me deixe sozinho nessa narrativa. Vem comigo a cada passo, pois de cálculo você já deve estar cheio (e cheio de dúvidas históricas também).

Tudo começou com a necessidade de se emprestar alguma coisa. Mais facilmente, a coisa 'dinheiro'.

Alguém emprestava dinheiro para outra pessoa, cobrava o dinheiro de volta após algum tempo e mais um outro valor como aluguel, inicialmente arbitrário, de acordo com a 'cara do freguês'.

Claro está que, quem emprestava o dinheiro, gostaria de receber esse 'a mais' maior possível. Os tomadores de empréstimo, por sua vez, quereriam pagar pouco pelo aluguel.

Uns olhavam os negócios dos outros e comparavam com o que eles mesmos tinham feito antes, para vem quem era menos ganancioso na hora de emprestar.

Agora vamos supor que alguém, lá atrás no tempo, pegou R$ 10.000,00 emprestados e, após um mês, devolveu esse valor e pagou mais R$ 500,00 pelo aluguel do dinheiro.

E vamos supor que uma outra pessoa emprestou também R$ 10.000,00 num outro negócio sem conhecimento pessoal entre eles.

Neste último negócio, após um mês, foram devolvidos os R$ 10.000,00, e mais R$ 600,00 como valor do aluguel.

Por um acaso, o segundo tomar do empréstimo (o que pagou R$ 600,00) encontrou o primeiro tomador (o que pagou R$ 500,00) e ficou sabendo dos valores, concluindo que pagou demais. Pagou R$ 100,00 a mais que o primeiro.

A visualização do negócio foi imediata: R$ 10.000, emprestado por um, exigiu R$ 500; o mesmo valor, emprestado por outro, exigiu mais.
Claro fica que, se o segundo tomador do empréstimo precisar novamente de dinheiro, não irá procurar aquele emprestador que lhe cobrou mais dinheiro. Irá, naturalmente, procurar o emprestador do outro negócio, que praticava preço de aluguel de dinheiro mais em conta.

E isto foi feito.

Passando o tempo, o emprestador de dinheiro 'mais caro' percebeu que não estava mais sendo procurado para emprestar e foi em busca da razão disto: descobriu que alguém estava emprestando (alugando) dinheiro 'mais barato'.
Ele então, para não perder oportunidades de negócio, anuncia que irá cobrar, de agora em diante, R$ 499,00, caso alguém necessite de R$ 10.000,00 emprestados.

Assim, nasce o primeiro mercado de juros, onde a competição dita os valores. Mas isto é outra História.

Juro é o mesmo que aluguel.
Onde você, no seu dia-a-dia, encontrar a palavra aluguel, traduza-a para Juro.

Repare bem que, no exemplo dado, bastou ver os valores cobrados como aluguel (juro) para ver quem fez o melhor negócio. E você sabe por quê?
Porque a base de cálculo era igual nos dois casos: R$ 10.000,00.

Agora me diga, de imediato, apenas olhando, quem fez melhor negócio, no exemplo seguinte.

O emprestador A empresta R$ 2.300,00 e cobra de juro (aluguel) R$ 92,00.
O emprestador B empresta R$ 1.600,00 e cobra de juro (aluguel) R$ 80,00.

Não dá para saber, apenas olhando os valores, quem está levando vantagem, não é?

Quem será que está pagando menos pelo aluguel? O que está pagando R$ 80,00 ou o outro?

Isto, nos primeiros momentos, causou uma grande dificuldade, pois nem sempre as bases de cálculo (o dinheiro emprestado ou objeto do aluguel) eram em números redondos.

Imagine saber se R$ 4.432,87 de juro sobre R$ 84.762,42 é melhor do que R$ 7.876,65 de juro sobre R$ 97.876,43?

Então, alguém teve uma brilhante idéia: que tal imaginar que o valor do empréstimo é R$ 100,00 para qualquer transação? Assim, com a base de cálculo sempre a mesma, ficaria imediato, visual, a comparação entre alugueres (juros) com base em valores diferentes (capitais).

Vamos pensar com valores mais fáceis. Fizeram mais ou menos assim:
Se alguém emprestou R$ 800,00 e cobrou R$ 40,00 de aluguel no fim de um mês, então é só 'fingir' que este valor R$ 800,00 é R$ 100,00.
Mas, como assim, 'fingir'?

'Fingir' no caso é separar os R$ 800,00 em blocos de R$ 100,00, o que dá 8 blocos (1).

Agora, se por 8 blocos pagou-se R$ 40,00 de aluguel, então cada bloco 'custou' a quem pegou o empréstimo R$ 5,00 (2).

E pronto, resolvido o problema, que é

PARA CADA R$ 100,00 existentes no valor do empréstimo (que agora não interessa mais para avaliação), cobraram-se R$ 5,00.

Concorda?

Pronto, agora é só você reescrever o que acabou de concordar comigo:

"5 POR CENTO de juros" ou "R$ 5,00 de juros POR CADA CEM REAIS emprestados".

Preste atenção na locução 'Por Cento'. Ela quer dizer o mesmo que 'por centena', 'por grupo de cem', 'para cada centena', 'para cada grupo de 100'.

Agora chegou a hora da fórmula, a tão temida fórmula.

Pense bem: o que você fez, na verdade, para calcular que a operação de emprestar-se R$ 800,00 custou 5 por cento pelo aluguel?

(1) Dividiu todo o valor do empréstimo (R$ 800,00) por 100 (Cem, grandeza adimensional. Divisão em cem partes) e achou quantos grupos de R$ 100,00 há no dinheiro emprestado (8 grupos).
(2) Como os R$ 40,00 se referem a TODOS os 8 grupos, R$ 40,00 também é constituído de 8 grupos de 'um valor qualquer', e esse 'valor qualquer' é R$ 5,00 ( 40 / 8).

Esse valor financeiro que você associa a cada grupo de R$ 100,00 (no caso o valor R$ 5,00) chama-se Taxa de Juros. O dinheiro emprestado inicialmente chama-se 'Capital'.

Então, refazendo (1) e (2),

Taxa de Juros = Valor dos Juros / (Capital / 100).

Para simplificar, vamos chamar Taxa de Juros de 'r', Valor dos Juros de 'j'. Então, reescrevendo e fazendo a simplificação

r = j x 100 / capital (3)

A taxa 'r' é que diz se você, que empresta ou toma dinheiro, está fazendo bom negócio em relação às outras pessoas que fazem operações semelhantes.

Agora podemos responder à pergunta feita lá em cima

Imagine saber se R$ 4.432,87 de juro sobre R$ 84.762,42 é melhor do que R$ 7.876,65 de juro sobre R$ 97.876,43?

Vamos ver a primeira combinação de dinheiro x juro:

r = 4.432,87 x 100 / 84.762,42  R$ 5,229759 por cada R$ 100,00 emprestados, ou 5,229759 por cento, ou 5,229759%.

A segunda combinação:

r = 7.876,65 x 100 / 97.876,43 = R$ 8,047545 por cada R$ 100,00 emprestados, ou 8,047545 por cento, ou 8,047545%

Logo, a primeira operação é mais vantajosa para o tomador do empréstimo.

Determinada a fórmula para se calcular o juro, teremos a dizer também que isto se refere a um determinado tempo.
Você há de concordar que alguém empresta dinheiro por um período de tempo. Quanto maior o tempo, maior o custo do empréstimo, mas veremos isto mais adiante, no próximo artigo.

Achamos a fórmula para calcular a taxa de juros ®, que é a proporção que existe entre o valor financeiro do custo do aluguel em relação a apenas R$ 100,00, como se este valor o empréstimo total fosse.
E qual seria a fórmula para se calcular o valor dos juros?

Novamente iremos pensar no valor de R$ 800,00 como empréstimo.

Mas agora as coisas evoluíram. O mercado agora tem seu linguajar próprio. As pessoas já falam em 'percentagem', querendo significar custo do dinheiro.

Suporemos que o nosso emprestador agora só fala em emprestar a 5% por um período inteiro. É a taxa praticada neste nosso mercado incipiente.

Mas o que ele quer dizer com isto?

Primeiro vamos ver o que significa este símbolo '%'.

Se você disser que ele significa 'por cento', está redondamente enganado. Esta locução, solta de um contexto, não significa nada.
O símbolo '%' pode representar 'bananas', 'parafusos', R$, 'bactérias', etc e tal? Surpreso? Então vejamos.

Imagine que você lenha a seguinte reportagem:

"Numa cultura de bactérias, 5% delas morreram por condições inadequadas de armazenamento no laboratório"

O que isto quer dizer?
Quer dizer que 5 BACTÉRIAS dentre 100 BACTÉRIAS morreram.

Numa outra reportagem poderia haver a seguinte notícia:
"O avião acidentado teve parte de sua fuselagem arrancada. Estima-se que 14% dos rebites apresentaram problemas de corrosão".

Quer dizer: "14 REBITES dentre 100 REBITES apresentaram corrosão."

Então, no nosso caso financeiro, quando nosso emprestador diz que cobra 5% por um período, quer dizer que ele cobra R$ 5,00 para cada R$ 100,00 emprestados. O símbolo '%' aqui significa dinheiro, Reais, R$,

Se ele empresta R$ 800,00, sabemos que, para cada R$ 100,00 existentes em R$ 800,00 o tomador deve se preparar para pagar R$ 5,00.
Quantos forem os grupos de R$ 100,00 existentes em R$ 800,00 (capital), tantos serão os R$ 5,00 devidos ao emprestador. Então,

j = R$ 5,00 x R$ 800,00 / 100, ou, de maneira genérica,

j = custo por centena (por cento) x Capital / 100.

Consagrou-se, então,

j = r x Capital / 100 (4)

Na verdade, (4) é a transposição de variáveis da fórmula (3).

Na prática, no Comércio de hoje, você já deve ter visto (4) escrito como

j = Cit/100.

Tomando 't' como 1, uma vez que nos nossos exemplos sempre foi considerado apenas um determinado período combinado entre tomador e emprestador e substituindo-se a letra 'r' por 'i' meramente como uma alteração 'cosmética', você reconhece a fórmula consagrada pela prática há centenas de anos.