Medindo distâncias usando sombras como fonte de cálculo

Vocês sabem que a sombra de um objeto projetada numa parede depende de algumas coisas.

Imaginem uma vela acesa num quarto escuro. Se vocês puserem a mão na frente da vela, a sombra da mão aparecerá na parede. Quando vocês aproximam a mão da fonte de luz, a sombra da mão fica maior na parede; se vocês se aproximam da parede, a sombra tende a representar o tamanho real da mão.
Caso vocês removessem a parede do lugar e a pusessem mais longe, a sombra da mão, à mesma distância da fonte de luz inicial, seria maior. Equivaleria, isto, a afastar-se a fonte de luz.

Então, sombras dependem

a ) do tamanho do objeto. Quanto maior o objeto, maior sua sombra.

b ) da distância do objeto ao anteparo, onde sua sombra é projetada. Quanto mais distante do anteparo estiver o objeto, maior será a sombra projetada.

c ) da distância da fonte de luz ao anteparo. Quanto mais distante do anteparo a fonte de luz estiver, menor a sombra projetada.

Se você soubesse, então, o tamanho do objeto, poderia calcular o tamanho que teria sua sombra?

Seria possível calcular a distância dos objetos a partir das sombras que ele projeta?

Se você medisse a sombra projetada, poderia deduzir a distância da fonte de luz ao anteparo?

Ou, se você medisse a sombra projetada, poderia deduzir o tamanho do objeto?


Acredito que sim, mas somente se tivermos uma fonte de luz pontual. Várias fontes de luz projetam várias sombras do mesmo objeto, de modo que fica difícil medir as dimensões das sombras, caso sejam criadas de várias fontes ao mesmo tempo.

Quanto mediria, então, a sombra de um Boeing, que passa voando sobre nós a 10.000m de altitude, se ele tem 32m de comprimento?

Rigorosamente, mesmo o Sol que está a 150.000.000 km de distância da Terra, que projeta, na prática, raios de luz paralelos, não é uma fonte de luz pontual.

Idealmente, entretanto, podemos usá-lo como fonte de luz pontual, pois a precisão é grande.
Já notou que a sombra de sua mão, sob a luz do sol, não importando o quanto você aproxima sua mão ao chão, ou a afasta dele, é sempre a mesma?
A sombra não aumenta quando você está de pé, assim como não diminuiu quando você se agacha para ver o efeito. Ela tem o tamanho de sua mão.
Assim será com o Boeing. O comprimento de sua sombra, na prática, terá seu comprimento real.

Isto não acontece com uma vela, pois ela está bem perto de você e os ângulos dos raios luminosos são muito abertos.

Então imagine uma fonte de luz (uma vela, que consideraremos como fonte de luz pontual).

Imagine-a sobre uma mesa num quarto escuro.

Imagine que você pendurou uma caixa de sapatos (objeto) por um fio de linha preso ao teto.

Dependendo de onde você pendurou esta caixa de sapatos, a sombra da caixa na parede (anteparo) terá um tamanho determinado. Se você mudar a posição da caixa, a sombra aumentará de tamanho ou não, dependendo de onde você a puser.

A sombra da caixa é retangular. Se você traçar uma linha de um dos extremos da sombra, onde ela for mais longa, até a fonte de luz e fizer o mesmo no lado oposto, também até a fonte de luz, irá construir um ângulo, que chamaremos de Alfa.

À metade deste ângulo chamaremos Beta.

O ângulo Beta pertence a um triângulo retângulo, formado pela distância da vela até o meio da sombra da caixa de sapatos (cateto adjacente) e uma das linhas daquelas que você traçou (cateto oposto, que vai do meio da sombra à extremidade mais longa).

A tangente trigonométrica deste ângulo é encontrada dividindo-se a metade da sombra pela distância do anteparo (parede) à fonte de luz.

Veja o esquema. Podemos encontrar o ângulo Beta em vários lugares. Ele é nossa fonte de cálculo. Sua tangente trigonométrica é que nos interessa.

Figura 1:


Há dois triângulos que têm o ângulo Beta: o que vai do anteparo à fonte de luz (distância 'd') e outro que vai do anteparo ao objeto (distância 'a'). Eles, deste modo, têm a mesma tangente trigonométrica.

Veja as figuras 2 e 3, respectivamente.

Figura 2:


Figura 3:


Assim,

w / a = (s/2) / d

Substituindo 'w' por seus valores obtidos de 's' e de 'o', temos que

(s/2 - o/2) / a = (s/2) / d

Fazendo as transposições algébricas e explicitando 's', que é a sombra do objeto projetada no anteparo, temos que


s = do / (d-a)

Então, nosso Boeing projetará

s = 150.000.000.000m . 32m / (150.000.000.000m - 10.000m)

s = 4.800.000.000.000 'm2' / 149.999.990.000m

s = 32,00000213m.

Conclusão: À astronômica distância de 150 bilhões de metros da fonte de luz (Sol) ao anteparo (Terra), um objeto de 32m de comprimento (Boeing), voando a 10.000m de altura, projeta uma sombra de 32,00000213m, que é 0,000000066667% maior que o avião.

Do mesmo modo, poderíamos calcular quaisquer outras medidas como perguntado no início do artigo, bastando explicitar a variável buscada da fórmula da sombra acima.