Raiz quadrada de números decimais

Introdução

Alguns conceitos sobre raízes quadradas podem ser visualizados já nas séries iniciais. Com diferença apenas nas nomenclaturas, os pequeninos entram em contato com a resolução de radicais, mesmo que não explicitamente. Um exemplo disso é o estudo da tabuada. Ao encontrarmos os múltiplos de um número, estaremos entrando em contato, automática e, às vezes, implicitamente, com a raiz quadrada de algum outro número. Veja os exemplos que se seguem.

2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10

 

3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15

 

4 x 1 = 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16
4 x 5 = 20

Perceba o produto de 2 x 2 = 4. Logo, a raiz quadrada de 4 é 2. Da mesma forma, o produto de 3 x 3 = 9, ou seja, a raiz quadrada de 9 é 3. Por fim, multiplicando 4 x 4 obtém-se 16, o que leva a concluir que a raiz quadrada de 16 é 4. Essa relação pode se estender ao infinito, passeando pelos diversos conjuntos numéricos, usufruindo da infinidade de números existentes. De maneira geral, dizemos que:

Definição: A raiz quadrada de um número n é um número a cujo produto por ele mesmo resulta n, com a e n reais positivos.

Ou ainda,

A raiz quadrada de um número n é um número a cujo próprio quadrado resulta n, com a e n reais positivos.

Ou simbolicamente,

\sqrt{n} = a \rightarrow a^2 = n\text{, com a e n} \in \mathbb{Z}_+

OBS.: No conjunto dos números reais (\mathbb{R}) não existe raiz quadrada de um número negativo.

Raízes quadradas de números decimais

Assim como os números inteiros positivos, os números racionais positivos também possuem raízes quadradas, tanto racionais na forma fracionária quanto na forma decimal. Neste trabalho, abordaremos apenas as raízes quadradas de números racionais decimais.

A definição de raiz quadrada, nas suas várias formas, dadas anteriormente, quando o estudo se atinha aos números naturais, também servirá para o conjunto dos Números Racionais (\mathbb{Q}). Veja:

\sqrt{n} = a \rightarrow a^2 = n\text{, com a e n} \in \mathbb{Q}_+

Isso significa que a raiz quadrada de um número n, é um número a, desde que o quadrado de a seja igual ao próprio n, com a e n pertencentes ao conjunto dos números racionais, sendo a e n positivos.

É importante lembrar que um número racional é aquele que pode ser escrito na forma \frac{a}{b}, com a \in \mathbb{Z}  e b \in \mathbb{Z}^* (o símbolo * representa o conjunto dos Números Inteiros Não Nulos). No nosso caso, como queremos lidar com os racionais na forma decimal, podemos dizer que os números a e n são da forma a,a_1 a_2 a_3 ... ou n, n_1 n_2 n_3 ..., onde o número ao lado esquerdo da vírgula representa a parte inteira e os demais a parte decimal: a inteiro, a1 décimos, a2 centésimos... Aqui, trataremos da extração de raízes de números decimais finitos.

Encontrando raízes quadradas de números decimais

Na sequência, darei alguns exemplos de extração de raízes quadradas de números decimais finitos e positivos, ou seja, os quocientes de divisões exatas.

Exemplo 1: Calcule \sqrt{0,64} em \mathbb{Q}_+.

Método I

Pela definição, temos que encontrar um número a, tal que a² seja igual a 0,64.

Tome 1² = 1 e 2² = 4. Veja que \sqrt{0,64} só pode ser menor 1.

Como \sqrt{0,64} < 1. Por simples especulação, tem-se:

(0,5)² = 0,25. Como o resultado ficou abaixo do que estamos procurando, teremos que fazer uma nova tentativa, desta vez com um número um pouco maior.

(0,7)² = 0,49. Este resultado ainda é menor do que o procurado.

(0,8)² = 0,64. Portanto, \sqrt{0,64} = 0,8, pois (0,8)² = 0,64.

Método II

Pode-se ainda utilizar o método da conversão da raiz quadrada decimal na raiz de uma fração decimal – que por sinal é bem mais fácil de chegar ao resultado. Veja:

\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \sqrt{\frac{8^2}{10^2}} = \frac{8}{10} = 0,8

Exemplo 2: Encontre \sqrt{1,69} no conjunto dos números racionais positivos.

Método I

Veja que se 1² = 1 e 2² = 4, então 1 < \sqrt{1,69} < 2.

Por simples especulação:

(1,1)² = 1,21. Resultando distante do que estamos procurando.

(1,2)² = 1,44. Resultado próximo, mas ainda não é o que procuramos.

(1,3)² = 1,69. Portanto, podemos afirmar que \sqrt{1,69} = 1,3, pois (1,3)² = 1,69.

Método II

Pelo método da fração decimal, temos:

\sqrt{1,69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \sqrt{\frac{13^2}{10^2}} = \frac{13}{10} = 1,3

Exemplo 3: Em \mathbb{Q}_+, determine a \sqrt{12,25}.

Método I

Encontre as primeiras raízes quadradas dos números naturais e terá facilitado o trabalho de encontrar a raiz desejada.

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16...

Da sequência acima, percebe-se que 3 < \sqrt{12,25} < 4. Sendo assim, por especulação:

(3,1)² = 9,61. Resultado distante do procurado.
(3,3)² = 10,89. Resultado relativamente próximo do procurado.
(3,4)² = 11,56. Resultado próximo do procurado.
(3,5)² = 12,25. Portanto, concluímos que \sqrt{12,25} = 3,5, pois (3,5)² = 12,25.

Método II

\sqrt{12,25} = \sqrt{\frac{1225}{100}} = \sqrt{\frac{35^2}{100}} = \frac{35}{10} = 3,5

Considerações finais

Os processos explicitados acima visam ajudá-lo na resolução de problemas cujo uso da calculadora não é permitido. Porém, caso o uso deste equipamento seja possível, utilize-o como meio facilitador da efetuação de cálculos mecânicos. Lembre-se ainda de que a matemática, para ser fixada, deverá ter os seus conceitos amplamente compreendidos, seguidos de várias manipulações das ferramentas aprendidas, bem como de aplicações em problemas do nosso cotidiano.

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