Semelhança de triângulos

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais.

\triangle ABC \sim \triangle DEF \begin{cases}\hat{A} = \hat{D} \\ \hat{B} = \hat{E}, \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \\ \hat{C} = \hat{F} \end{cases}

O símbolo \sim significa “semelhante”.

Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes.

Razão de semelhança

A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança.

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k

Exemplo:

Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes:

Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais.

Note que \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{6}{3} = 2.

A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC.

Propriedades

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:

1. reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo.

\triangle ABC \sim \triangle ABC

2. simétrica: se \triangle ABC o é semelhante ao \triangle DEF , então o \triangle DEF é semelhante ao \triangle ABC .

\triangle ABC \sim \triangle ABC \Longleftrightarrow \triangle DEF \sim \triangle ABC

3. transitiva: se o \triangle ABC é semelhante ao \triangle DEF, e \triangle DEF é semelhante a outro \triangle JKL, então o \triangle ABC é semelhante ao \triangle JKL.

\begin{cases}\triangle ABC \sim \triangle DEF \\ \triangle DEF \sim \triangle JKL \end{cases} \Longleftrightarrow \triangle ABC \sim \triangle JKL

Teorema fundamental

Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes.

Casos de semelhança

Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada.

Caso AA (Ângulo, Ângulo)

Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes.

\begin{cases}\hat{B} \equiv \hat{E} \\ \hat{C} \equiv \hat{F} \end{cases} \Longleftrightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes.

\begin{cases}\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} \\ \hat{B} \equiv \hat{F} \end{cases} \Longleftrightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Caso LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais.

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \Longleftrightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Razão entre áreas

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles.

Observe a pequena demonstração:

A área do triângulo ABC será: A_{ABC} = \frac{BC \cdot AM}{2}.

A área do triângulo DEF será: A_{DEF} = \frac{EF \cdot DN}{2}.

Dividindo a área do primeiro pela do segundo temos:

\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = \frac{\frac{BC \cdot AM}{2}}{\frac{EF \cdot DN}{2}} = \frac{BC \cdot AM}{2} \cdot \frac{2}{EF \cdot DN} = \frac{BC \cdot AM}{EF \cdot DN}

Mas, como os triângulos são semelhantes, temos que \frac{BC}{EF} = \frac{AM}{DN} = k.

Assim:

\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = \frac{BC \cdot AM}{EF \cdot DN} = \frac{BC}{EF} \cdot \frac{AM}{DN} = k \cdot k = k^2

Portanto, teremos que:

\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = k^2

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes.

\triangle ABC \equiv \triangle DEF \Longleftrightarrow \begin{cases}\hat{A} \equiv \hat{D} \\ \hat{B} \equiv \hat{E} \\ \hat{C} \equiv \hat{F} \end{cases} e AB \equiv DE, AC \equiv DF, BC \equiv EF.

Exemplo:

1. As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores de e x e y:

Observando os lados e os ângulos, os lados homólogos são: AB e DE, AC e DF, BC e EF. Assim, para encontrar y fazemos:

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

\frac{18}{y} = \frac{12}{9}

12y = 162

y = \frac{162}{12} = \frac{27}{2} = 13,5

Para encontrar x fazemos:

\frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}

\frac{x}{18} = \frac{12}{9}

9x = 216

x = \frac{216}{9} = 24

Referências bibliográficas:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Semelhança de triângulos. Vol. 2. São Paulo: Bernoulli.

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