Trigonometria do Triângulo Retângulo

Por Robison Sá
Há muito tempo, medições eram realizadas de formas indiretas, principalmente referentes aos corpos celestes, vista a sua importância para a navegação, bem como para “prever o futuro” – para os crédulos. Com o estudo das relações métricas no triângulo retângulo, estas medidas se tornaram mais eficientes, mais precisas. Este será o tema deste artigo, sendo o seu debate possibilitador de novas visões matemáticas e explicitador de ferramentas matemáticas capazes de tornar viáveis os cálculos outrora impossíveis.

A semelhança de triângulos

Dados dois triângulos, por exemplo, eles serão semelhantes se obedecerem a alguns padrões. Vejam um caso de semelhança e suas relações.

trigonometria triangulo retangulo1

  • Em triângulos semelhantes o quociente entre os pares de lados correspondentes forma sempre uma razão constante.

trigonometria triangulo retangulo2

  • A razão entre o cateto menor e o cateto maior, nos dois triângulos, é igual.

trigonometria triangulo retangulo3

  • A razão entre o cateto maior e a hipotenusa é igual nos dois triângulos.

trigonometria triangulo retangulo4

  • A razão entre o cateto menor e a hipotenusa é igual nos dois triângulos.

trigonometria triangulo retangulo5

Razões trigonométricas

trigonometria triangulo retangulo6Ao compararmos duas grandezas por meio de uma divisão estaremos dando sentido ao conceito de razão. A palavra razão é etimologicamente ligada ao termo ratio, que traduzido do latim significa, entre outras coisas, rateio, repartição.

Observação: as relações são dadas tomando como referência o ângulo α, destacado em amarelo.

trigonometria triangulo retangulo7

A partir destas informações, caso tenhamos alguns ângulos e os valores dos catetos oposto e adjacente, e também da hipotenusa, poderemos encontrar os valores do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos. Em seguida mostrarei uma tabela, para consulta, contendo alguns valores de ângulos, seno e cosseno deles, deixando o valor da tangente como exercício para você, estudante.

Ângulo

Seno

Cosseno

0,09

0,99

15º

0,26

0,97

30º

0,50

0,87

45º

0,71

0,71

65º

0,91

0,42

75º

0,97

0,26

85

0,99

0,09

Aplicação dos conceitos

Num triângulo retângulo, o cateto oposto a um ângulo é a quarta parte da hipotenusa. Calcule o seno e dê a medida aproximada desse ângulo, consultando a tabela acima.

  • chamemos a hipotenusa de c;
  • o cateto oposto, segundo o enunciado, será  ¼ c;
  • vamos chamar o ângulo de α.

Veja como fica o problema em sua representação abaixo:

trigonometria triangulo retangulo8

 

Sendo trigonometria triangulo retangulo9, podemos prosseguir da seguinte maneira:

 

trigonometria triangulo retangulo10

 

Pela tabela anterior, sabemos que este valor é uma aproximação do seno do ângulo de 15º.

trigonometria triangulo retangulo11

 

“Seja por qual for o caminho, sempre chegaremos a algum lugar”.

(Robison Sá)

Referência bibliográfica:
IMENES, LUIZ MÁRCIO; LELLIS, MARCELO. Matemática.  – 2 ed. –São Paulo: Moderna, 2012.