Centro de Massa

Por Francisco José Correia de Alencar

Veja a figura a cima. Enquanto o cilindro, lançado para cima, gira, há um ponto seu que não gira, mas descreve uma trajetória parabólica. É o centro de massa do cilindro.

Na figura anterior, o projétil descreve uma trajetória parabólica até explodir. Depois da explosão, cada fragmento tem trajetória diferente, mas o centro de massa do projétil de antes da explosão mantém a trajetória parabólica.

O movimento de um corpo rígido, ou de um sistema de corpos rígidos, pode ser representado pelo movimento do centro de massa desse corpo ou sistema. Pra isso, admite-se que toda a massa do corpo, ou do sistema, esteja concentrada no centro de massa e que nele estejam aplicadas todas as forças externas.

Centro de massa

Considere um sistema de pontos materiais P1, P2,..., Pn e de massas m1, m2,..., mn, respectivamente. Vamos supor, por exemplo, que estes pontos pertençam a um plano α. Admitamos, ainda, conhecidas as coordenadas de P1, P2,..., Pn em relação a um sistema cartesiano ortogonal pertencente ao plano α (Figura): P1 (x1, y1), P2 (x2, y2),...,     Pn (xn, yn).

O ponto C de coordenadas (xCM, yCM) obtidas através das médias ponderadas:

x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + ... + m_n x_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n}

y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + ... + m_n y_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n}

 

Recebe o nome de centro de massa do sistema de pontos materiais.

Propriedades do centro de massa

Se o sistema de pontos materiais admite um eixo (ou um centro de simetria), de modo que as massas dos pontos simétricos sejam iguais, então o centro de massa pertence ao eixo (ou ao centro) de simetria.

Considere uma chapa homogênea, como por exemplo, a chapa homogênea em forma de T da Figura. Seu centro de massa C coincide com o centro de massa dos pontos C’ e C” que são os centros de massa das chapas retangulares indicadas na figura. Pode-se generalizar a propriedade anterior, subdividindo-se o sistema em mais de dois conjuntos parciais.

Exercícios Resolvidos

01. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de partículas indicado ao lado.

Resolução:

As coordenadas das partículas são:

m1 →         x1 = 0 ;              y1 = 0
m2 →         x2 = 1;               y2 = 2
m3 →          x3 = 4 ;             y3 = 1

Deste modo, as coordenadas do centro de massa são:

x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}

x_{CM} = \frac{2.0 + 3.1 + 5.4}{2+3+5}

x_{CM} = 2,3\text{ cm}

.

y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}

y_{CM} = \frac{2.0 + 3.2 + 5.1}{2+3+5}

y_{CM} = 1,1\text{ cm}

02. A distância entre o centro da Terra e o centro da Lua mede 3,8 . 105 km. A massa da Terra é 82 vezes maior que a massa da Lua. A que distância do centro da terra encontra-se o centro de massa do sistema Terra-Lua.

Resolução:

Vamos adotar um eixo Ox passando pelos centros da Terra e da Lua, com origem no centro da Terra. Nestas condições, a abscissa do centro de massa da Terra é nula  (x1 = 0) e da Lua é x2 = 3,8 . 105 km. Sendo m2 a massa da Lua e m1 = 82m2 a massa da Terra, vem:

x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}

x_{CM} = 4,3 \cdot 10^3 \text{ km}

 

Exercícios Propostos

01. Determine a abscissa do centro de massa do sistema de partículas ao lado, cujas massas são m e 4m.

Resposta: 4 cm.

02. Quatro discos, 1, 2, 3 e 4, todos de mesmo raio R = 20 cm, e de massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, e m4 = 4 kg estão arrumados no plano horizontal, xy, conforme mostra a figura abaixo. A distribuição de massa em cada disco é homogênea. As coordenadas (X, Y) do centro de massa desse conjunto de discos são dadas, em cm, pelo par ordenado:

A) (40, 40)
B) (20, 32)
C) (20, 60)
D) (40, 32)
E) (40, 20)

Resposta: (X,Y) = (40,32), opção D