Momento de Inércia

Por Glauber Luciano Kítor
Existe uma grandeza física associada à inércia de rotação. Ela é denominada momento de inércia. Assim como um corpo massivo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado inicial de movimento com uma velocidade constante, que inclusive pode ser zero, no caso em que o somatório das forças atuantes é nulo, também existe uma resistência à mudança no movimento rotacional. Esta resistência à mudança em sua velocidade angular é conhecida como momento de inércia do respectivo corpo.

Analisando quantitativamente o momento de inércia, que simbolizaremos por I, podemos chegar facilmente a uma expressão:

I = m.R²

Para um corpo de massa m, cujo centro de massa está posicionado a uma distância fixa R de um ponto fixo em torno do qual este objeto pode executar um movimento circular, conforme mostra a figura 01.

Figura 01: representação de um corpo a uma distância R de seu eixo de rotação

Figura 01: representação de um corpo a uma distância R de seu eixo de rotação

Isto é facilmente aceitável. Mas para objetos como uma barra, ou um disco, ou uma esfera, qual seria a expressão para o cálculo do momento de inércia? Para estes casos, aplica-se o cálculo integral utilizando a distribuição contínua de massa, cujo elemento de massa é dm ao longo do corpo com comprimento x, como se segue.
art30_fig01_momento_de_inercia_eq
Vejamos como isto seria determinado para uma barra de comprimento L, mostrado na figura 02.

Figura 02: representação de uma barra de massa m e comprimento L fixa em seu centro o eixo em torno do qual ela pode executar movimento rotacional

Figura 02: representação de uma barra de massa m e comprimento L fixa em seu centro o eixo em torno do qual ela pode executar movimento rotacional

Sabendo que esta massa m se distribui uniformemente ao longo de seu comprimento L, de modo que podemos escrever o elemento de massa dm em função da densidade linear de massa m/L e o elemento de comprimento dx como se segue:
art30_fig02_momento_de_inercia_eq
De maneira análoga a esta colocada aqui, pode ser feito o cálculo para o momento de inércia de uma barra com uma das extremidades coincidindo com o ponto fixo em torno do qual possivelmente ela irá girar. Há uma mudança apenas no limite de integração, que passa a ser de 0 até L, e o resultado é:

I = m.L²/3

Para um disco que gira em torno de um eixo imaginário que passa pelo seu centro, como mostra a figura 03:

Figura 03: representação de um disco centralizado em um eixo de rotação

Figura 03: representação de um disco centralizado em um eixo de rotação

O elemento de massa será dado por
art30_fig04_momento_de_inercia_eq
Após estas análises, fica evidente que quanto mais próxima a massa estiver do eixo de rotação, menor será o momento de inércia, e quanto mais afastada a massa estiver do eixo de rotação, maior será seu momento de inércia. A esfera possui o momento de inércia mínimo para corpos com distribuição contínua de massa, e seu valor é 2.m.R²/5.

Referências bibliográficas

HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 1, volume 1, 4. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 326 p.