Secante - Trigonometria

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações, são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo a secante de um ângulo

A secante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e o Cateto adjacente a esse ângulo. Assim, a relação secante depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo $\alpha$ :

$sec(\alpha) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente a }\alpha}$

$sec(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

A secante de um ângulo é o inverso do cosseno desse ângulo, assim:

$sec(\alpha) = \frac{1}{cos(\alpha)}$

Secante dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da secante é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°.

Como a secante é o inverso do cosseno, basta inverter os valores dos cossenos dos ângulos acima, na tabela.

Tabela do cosseno:

$\alpha$	30º	45º	60º
$cos(\alpha)$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$

Tabela da secante:

$\alpha$	30º	45º	60º
$sec(\alpha) = \frac{1}{cos(\alpha)}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A secante de $\alpha$ mede?

$sec(\alpha) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente a }\alpha}$

$sec(\alpha) = \frac{10}{8} = 1,25$

Função Secante

Definimos a função secante como:

$f(x) = sec(x)$ , $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função secante tem imagem R -]-1,1[, ou seja $sec(x) \leq -1$ ou $sec(x) \geq 1$ , para todo x real.

A secante de um ângulo sempre estará sob o eixo das abscissas (x). Nesse sentido, o secante de um ângulo será sempre positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º quadrantes.

Gráfico da função secante

Vamos ilustrar o gráfico da função secante. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x	f(x) = sec(x)
0	1
$\frac{\pi}{2}$	$\not\exists$
$\pi$	-1
$\frac{3\pi}{2}$	$\not\exists$
$2\pi$	1

As retas onde a função secante não existe, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ são chamadas de assíntotas.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/trigonometria/secante/