Equações Diferenciais

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestrando em Física Teórica (UNICSUL, 2018-atualmente)

Equações diferenciais são ferramentas importantes para diversos ramos das ciências exatas. Com elas é possível descrever e formular diversos tipos de sistemas físicos numa linguagem matemática, o que possibilita uma imensa gama de aplicações em modelos concretos. Relembrando brevemente a notação para derivadas, temos:

É chamada de diferencial uma equação que envolve derivadas de funções (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis em relação a uma ou mais variáveis independentes. As equações diferenciais são classificadas por tipo, ordem e linearidade. Vejamos:

Tipo 1 - Equação Diferencial Ordinária (EDO)

Se uma ED contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes com relação a apenas uma variável independente ela é chamada de equação diferencial ordinária, ou EDO. Veja abaixo três exemplos de EDOs:

Tipo 2 - Equação Diferencial Parcial (EDP)

Se uma ED contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes com relação a duas ou mais variáveis independentes ela é chamada de equação diferencial parcial, ou EDP. Veja abaixo dois exemplos de EDPs:

 

 

Ordem de uma ED

A ordem da mais alta derivada envolvida em uma ED é chamada de sua ordem, veja exemplos. A equação abaixo é uma EDO de segunda ordem:

Já esta equação abaixo é uma EDO de primeira ordem:

Uma EDP de quarta ordem seria, como no exemplo abaixo:

Linearidade de uma ED

Uma ED é chamada de linear se é possível escrevê-la na forma:

Podemos também classificar as EDs lineares de 1ª com duas propriedades:

1 – A variável dependente de y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, n=1 .

2 – Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.

Do contrário, uma ED que não seja linear, é chamada de não linear. Por exemplo:

yy''-2y' = x

O coeficiente da equação acima depende de y, logo ela uma EDO, não linear e de segunda ordem.

Solução de uma ED

É chamada de solução de uma ED qualquer função F definida em algum intervalo que quando substituída na ED, reduz a equação a uma identidade. De uma forma geral para as EDOs, temos:

Que F é uma função que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação diferencial. Vejamos um exemplo:

Seja uma EDO dada por:

E vamos verificar se é uma solução para a EDO. Primeiro, podemos substituir o valor dado na equação, ou seja, o valor de y da solução deverá ser inserido na EDO:

Agora, se reinserirmos o valor obtido pela igualdade acima na EDO, percebemos que:

O que prova que o valor de y dado é solução da EDO.

Leia também:

Referências bibliográficas:

ZILL, Dennis G; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais – Volume 1. São Paulo – Pearson Makron Books, 2001.

BASSALO, José Maria FIlardo; CATTANI, Mauro Sérgio Dorsa. Elementos de Física Matemática – Volume 1. São Paulo – Livraria da Física, 2010.

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7a Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.

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