Efeito Compton

Compton consegue explicar a natureza corpuscular da radiação experimentalmente em 1923. Ele projetou um mecanismo que fizesse com que um feixe de raios X de comprimento de onda λ incidisse sobre um alvo de grafite. Ele observa que há uma relação entre desvio do elétron e o desvio sofrido pelo fóton emergente, que será discutida a seguir, em uma análise particular da interação entre um fóton e um elétron.

Considere um fóton em rota de colisão com um elétron, conforme mostra a figura 01:

Figura 01: representação dos instantes anterior e posterior à colisão entre fóton e elétron

Figura 01: representação dos instantes anterior e posterior à colisão entre fóton e elétron

Quando um fóton incide em um elétron, há uma transferência de momento linear e de energia cinética. A energia de um fóton é dada por:

E = h.f                          (1.a)

Chamaremos E0 a energia do fóton incidente, de modo que nos limitaremos a escrever:

E0 = h.f                       (1.b)

Sabemos que a energia relativística total de uma partícula que se move com velocidades relativísticas é dada pela expressão:

E² = c².pe² + m0².c4 (2.a)

De forma que podemos escrevê-la para o elétron:

E² = c².pe² + m0².c4 (2.b)

Para o fóton incidente esta energia é dada por

E0² = c².p0² + m0².c4 (2.c)

O termo que contém a massa de repouso é zero, pois o fóton não possui massa de repouso. Desta forma, para o momento linear p0 do fóton incidente, obtemos:

p0 = E0/c                                   (3.a)

Que pode ser escrito em função do produto da constante de Planck pela sua frequência, h.f, o que dá:

p0 = h/λ0 (3.b)

O momento linear p’ do fóton emergente é dado por

p’ = E’/c                                     (3.c)

Que pode ser escrito como:

p' = h/λ’                                        (3.d)

O momento linear do elétron emergente pe é dado por:

pe = me.ve (4.a)

O momento linear se conserva, logo para a forma vetorial do momento linear total obteremos:

p0 = p’ + pe (5.a)

O qual pode ser decomposto nas componentes ao longo dos eixos x e y, e então escrito em função dos ângulos de espalhamentos em relação à linha da trajetória inicial, na direção x:

p0 = p’.cosθ + pe.cosφ               (6.a)

E, na direção y, teremos:

p'. senθ = pe.senφ               (7.a)

Elevando ao quadrado as respectivas equações, obtemos:

(p0 – p’.cosθ)² = pe².cos²φ

O que dá, para a componente x:

p0² – 2p0.p’.cosθ + p’².cos²θ = pe².cos²φ               (6.b)

E, para a componente y:

p'².sen²θ = pe².sen²φ             (7.b)

Fazendo a soma das duas últimas equações, obtemos:

p'².sen²θ + p0² – 2. p0.p’.cosθ + p’².cos²θ = pe².(sen²φ + cos²φ)           (8.a)

Sabe-se que

sen²φ + cos²φ = 1               (9)

Desta forma obtemos:

p0² + p’².(sen²θ + cos²θ) – 2. p0.p’.cosθ = pe²                  (15)

Sabe-se que

sen²θ + cos²θ = 1                   (10)

Então, obtemos:

p0² – 2. p0.p’.cosθ + p’² = pe²              (11.a)

A energia relativística total é conservada. Logo, podemos escrever:

E0 + m0.c² = E’ + K + m0.c²                 (12.a)

Os termos m0.c² se anulam, e obtemos:

E0 – E’ = K                (13.a)

Podemos escrever esta expressão usando os resultados das equações (3.a) e (3.b)

c.(p0 – p’) = K               (13.b)

Podemos tomar E = K + m0.c² e substituir em (2.a) e obter:

(K + m0.c²)² = c².pe² + (m0.c²)²                 (14.a)

Desenvolvendo esta expressão, obtemos:

K² + 2.K.m0.c² + m0².c4 = c².pe² + m0².c4 (14.b)

Que, simplificando, dá:

K² + 2.K.m0.c² = c².pe²                        (14.c)

Dividindo por c²:

K²/c² + 2.K.m0 = pe²               (14.c)

Inserimos a energia cinética da equação (13.b) e p² da equação (11.a) nesta última, e então obtemos:

c².(p0 – p’)²/c² + 2.m0.c.(p0 – p’) = p0² + p’² – 2.p0.p’.cosθ             (15.a)

Que se reduz a:

(p0 – p’)² + 2.m0.c.(p0 – p’) = p0² + p’² – 2.p0.p’.cosθ                (15.b)

Desenvolvemos os termos:

p0² – 2.p0.p’ + p’² + 2.m0.c.(p0 – p’) = p0² + p’² – 2.p0.p’.cosθ                 (15.c)

Cancelamos os termos semelhantes:

– 2.p0.p’ + 2.m0.c.(p0 – p’) = – 2.p0.p’.cosθ               (15.c)

Passando o termo – 2.p0.p’ para o lado direito e dividindo por 2, obtemos:

m0.c.(p0 – p’) = p0.p’(1 – cosθ)                 (15.d)

Podemos melhorar esta expressão, dividindo tudo por m0.c.p0.p’, e obtemos:

\frac{1}{p_o} - \frac{1}{p'} = \frac{1}{m_0 \cdot c} \cdot (1 - cos \theta)

 

Multiplicando por h e aplicando as equações (3.b) e (3.d) obtemos uma expressão conhecida como a equação de Compton.

λ’ – λ0 = (h/m0.c).(1 – cosθ)

O termo h/m0.c é denominado comprimento de onda de Compton do elétron, designado por λc. Seu valor numérico é obtido substituindo os valores numéricos da constante de Planck h, da massa de repouso do elétron m0 e da velocidade da luz c, de forma que se obtém:

λc = h/m0.c = 2,43x10-12m

O termo λ’ – λ0 = Δλ é denominado deslocamento Compton, e depende do ângulo de desvio em relação à direção do fóton incidente, e é independente do comprimento de onda inicial.

Os resultados de Compton resultam geram o gráfico de Δλ versus θ, representado a seguir:

Figura 02: resultados de compton para o deslocamento compton, em fução do ângulo de espalhamento.

Figura 02: resultados de compton para o deslocamento compton, em fução do ângulo de espalhamento.

Referências bibliográficas:
EISBERG, Robert RESNICK, Robert. Física Quântica – Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. Tradução de Paulo Costa Ribeiro, Ênio Costa da Silveira e Marta Feijó Barroso. Rio de Janeiro:Campus, 1979

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