Mecânica Hamiltoniana

A mecânica de William Rowan Hamilton é uma reformulação da mecânica clássica cuja origem é proveniente da mecânica Lagrangeana. Porém, a mecânica hamiltoniana pode ser explicada isoladamente através do estudo matemático de variedades simpléticas (exclusivas dessa mecânica).

Assim como a Lagrangeana, a mecânica Hamiltoniana é capaz de estudar e analisar sistemas mais complexos (incapacidade inerente à mecânica de Newton), mesmo que não seja indicada para casos particulares.

Cálculo Hamiltoniano

As equações diferenciais de Hamilton para um sistema conservativo são utilizadas, geralmente, para aqueles nos quais há alternância periódica entre energia cinética e energia potencial: uma bola quicando ou um pêndulo. Mas também são utilizadas em sistemas mais complexos, tais como: órbitas planetárias e mecânica quântica.

As duas equações básicas da mecânica hamiltoniana são, na maioria das vezes, escritas dessas formas:

Nas equações descritas, = momento linear generalizado em relação ao tempo e = velocidades generalizadas. De modo que:

Observe que a função Hamiltoniana H é, assim como a função de Lagrange, baseada em coordenadas: taxa de variação do momento linear em relação ao tempo, das coordenadas generalizadas em relação ao tempo (velocidades generalizadas) e do tempo, respectivamente.

O sinal negativo da primeira equação mostra que a força Newtoniana (variação do momento linear no tempo) torna-se igualitária ao gradiente negativo da energia potencial.

Na segunda equação, a variação das coordenadas no tempo (velocidade) é igual à variação da energia cinética com relação ao seu momento linear.

Função de Hamilton

O Hamilton (ou função Hamiltoniana) é dado pela diferença entre a somatória dos produtos do momento linear da partícula e das velocidades generalizadas, e a Lagrangeana do sistema, ou seja:

Sendo o Lagrangiano desse sistema dado pela diferença entre as energias potencial e cinética da partícula, obedecendo aos critérios da mecânica de Lagrange.

Em outras palavras, o Hamiltoneano de um sistema dinâmico é dado pela soma T + U, onde T = energia cinética e U = energia potencial. E, como a energia potencial depende apenas da coordenada generalizada (ou posição da partícula) – U(q) = U(x), a energia cinética pode ser dada em função da quantidade de movimento da partícula e da sua massa:

Recorrendo a definição de quantidade de movimento: relação entre a velocidade v de uma partícula e sua massa m, sendo p = mv. E, sendo energia cinética igual à metade do produto mv², tem-se:

Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Mecânica_hamiltoniana (acesso em 02/04/2010)
http://200.145.134.134/twiki/pub/Main/DisciplinaClassica/hamilton.pdf (acesso em 02/04/2010)

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