Área de setores circulares

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

Círculo

Podemos definir um círculo como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma circunferência, ou seja, é o espaço contido dentro da circunferência.

Todo círculo ou circunferência possui alguns elementos importantes:

  • O é o centro da circunferência;
  • \overline{AB} é o Diâmetro (D);
  • \overline{AO}\overline{OB} são raios (r);

Setor circular

Um setor circular é uma região do círculo delimitada por dois de seus raios, partindo do centro e um arco:

Usualmente podemos chamar um setor circular de “fatia de pizza”, pelo seu formato. O ângulo \theta é chamado de ângulo central.

De acordo com seu ângulo, um setor circular pode ser classificado como:

Metades: quando o ângulo central mede 180°

Quadrantes: quando o ângulo central mede 90°

Oitantes: quando o ângulo central mede 45°:

Área em função do ângulo central

Seja um setor circular de raio r = 4 cm e ângulo central \theta = 60^o.

Para calcular a área, devemos ter a medida do ângulo central e a medida do raio, como está na figura.

Devemos pensar: "a área do setor de ângulo 60° e raio 4 cm corresponde a que fração da área do círculo inteiro?"

Também devemos pensar: "60° corresponde a que fração de 360°?"

Isso porque a fração que 60° corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo.

Assim, teremos a seguinte relação:

\frac{60^o}{360^o} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Ou seja, 60° é \frac{1}{6} de 360º. Isso quer dizer que a área do setor circular também será \frac{1}{6} da área total do círculo. Lembrando que a área de um círculo é dada por A_\text{circulo} = \pi r^2, teremos:

A_\text{setor} = \frac{1}{6} \cdot \pi r^2

A_\text{setor} = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 4^2

A_\text{setor} = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 16

A_\text{setor} = \frac{16\pi}{6} cm^2

Substituindo \pi por 3,14, teremos:

A_\text{setor} = \frac{16\pi}{6} = \frac{16 \cdot 3,14}{6} = 8,37 cm^2

Lembrando que o valor de \pi, usualmente é 3,14. Mas há alguns casos onde o exercício pode pedir para que se adote \pi = 3,1 ou mesmo \pi = 3. Também pode ocorrer que se peça com mais casas decimais.

Encontrando uma fórmula

Vamos generaliza uma fórmula para calcularmos a área de um setor circular.

Como a fração que o ângulo central corresponde em relação a 360° é a mesma fração que a área do setor corresponde em relação a área total do círculo, podemos fazer:

A_\text{setor} = \frac{\theta}{360^o} \cdot \pi r^2

A_\text{setor} = \frac{\theta \cdot \pi r^2}{360^o}

Isso considerando que o ângulo está dado em graus. Caso a medida do ângulo esteja em radianos, teremos que 360^o = 2\pi, então:

A_\text{setor} = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi r^2

A_\text{setor} = \frac{r^2 \theta}{2}

Para entender esta fórmula podemos usar uma proporção simples, pois a razão entre o ângulo do setor e 360° é a mesma que a área do setor e a área total:

\begin{cases}\theta &\rightarrow 360^o \\ A_\text{setor} &\rightarrow A_\text{circulo}\end{cases}

\begin{cases}\theta &\rightarrow 360^o \\ A_\text{setor} &\rightarrow \pi r^2\end{cases}

360^o \cdot A_\text{setor} = \theta \pi r^2

A_\text{setor} = \frac{\theta \cdot \pi r^2}{360^o}

Área em função do comprimento do arco

É possível determinar a área de um setor circular sabendo o comprimento do arco que o delimita.

Primeiro, vamos lembrar como se calcula o comprimento de um arco através de uma simples proporção.

Imaginemos um círculo de raio r, ângulo \theta e arco L .

O comprimento do círculo todo, com um ângulo de 360°, é o mesmo que o comprimento de uma circunferência, ou seja, C = 2\pi r.

Queremos saber qual o comprimento de um arco, cujo ângulo é \theta. Assim, temos:

\begin{cases}360^o &\rightarrow 2\pi r \\ \theta &\rightarrow L\end{cases}

360^o \cdot L = \theta 2\pi r

L = \frac{2\pi r \theta}{360^o}

L = \frac{\pi r \theta}{180^o}

Já sabemos que a área do setor será: A_\text{setor} = \frac{\theta \cdot \pi r^2}{360^o}.

Vamos isolar \pi\theta na fórmula do comprimento do arco L, para substituir na fórmula da área do setor.

L = \frac{\pi r \theta}{180^o}

180^o \cdot L = \pi r \theta

\pi r \theta = 180^0 \cdot L

\pi \theta = \frac{180^o \cdot L}{r}

Substituindo na fórmula da área do setor, teremos:

A_\text{setor} = \frac{\theta \cdot \pi r^2}{360^o}

A_\text{setor} = \pi \theta \cdot \frac{r^2}{360^o}

A_\text{setor} = \frac{180^o \cdot L}{r} \cdot \frac{r^2}{360^o}

A_\text{setor} = \frac{1L}{1} \cdot \frac{r}{2}

A_\text{setor} = \frac{Lr}{2}

Assim, a área de um setor circular também pode ser obtida, sabendo apenas o raio e a medida do arco que o delimita, sem necessidade do ângulo.

Exemplos:

1. Calcule a área de um setor circular, sabendo que o seu raio mede 5 cm e que o seu ângulo central mede 45°. (Adote \pi = 3).

\begin{cases}r = 5cm \\ \theta = 45^o \end{cases}

A_\text{setor} = \frac{45^o \cdot 3 \cdot 5^2}{360^o}

A_\text{setor} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 25}{8}

A_\text{setor} = \frac{75}{8} = 9,37cm^2

2. Qual a área de um setor cujo arco mede 30 cm, com raio igual a 7 cm?

A_\text{setor} = \frac{Lr}{2}

A_\text{setor} = \frac{30 \cdot 7}{2}

A_\text{setor} = \frac{210}{2} = 105cm^2

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Áreas de círculo e suas partes. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.

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