Combinação Simples

Por Thyago Ribeiro
Dado o conjunto {a1, a2, a3, ... an}, com n objetos distintos, podemos formar subconjuntos com p elementos. Cada subconjunto com i elementos é chamado combinação simples.

Representamos por Cn, p, o numero de combinações de n objetos tomados p a p. Por exemplo:

- As combinações simples de 3 dos 4 objetos a1, a2, a3, a4 são:

{a1, a2, a3} , {a1, a2, a4} , {a1, a3, a4} , {a2, a3, a4}

Assim: C4, 3

Analisando essa resposta: a escolha do 1° elemento da combinação pode ser feita de 4 modos; a do 2°, de 3 modos e a do 3°, de 2 modos. A resposta parece ser 4 x 3 x 2 = 24. Entretanto, se pensarmos em uma combinação, por exemplo:

{a1, a2, a3}

Verificamos que as combinações: {a1, a2, a3} , {a1, a3, a2} e {a2, a1, a3} etc. são idênticas e
foram contadas como se fossem diferentes. Portanto na resposta 24 estamos contando cada combinação uma vez para cada ordem de escrever seus elementos.

Como em cada combinação os elementos podem ser escritos em P3 = 3! = 6, cada combinação foi contada 6 vezes. Logo a resposta é 24/6 = 4
Genericamente temos:

C_{n, p} = \frac{n(n-1) ... (n - p - 1)}{p!} \text{ , 0 \leq p \leq n}

Multiplicando o numerador e o denominador por (n – p)! temos:

C_{n, p} = {n \choose p} = \frac{n!}{p! (n-p)} \text{ , 0 \leq p \leq n}

Observações:

1. n ≥ p ;

2. Como nas combinações simples os argumentos são subconjuntos, a ordem dos elementos não altera os agrupamentos;

3. Nos problemas que envolvem arranjos simples, a ordem dos elementos interessa na formação dos agrupamentos, enquanto, na combinação isso não importa.