Dízima periódica

As dízimas periódicas fazem parte do conjunto dos Números Racionais, o mesmo é representado pelo símbolo \mathbb{Q}. Esse conjunto é formado pela reunião dos números: naturais, inteiros, decimais, frações e dízima periódica. A representação simbólica desse conjunto é dada por:

\mathbb{Q} = \{x = \frac{a}{b}\mbox{, com a }\in \mathbb{Z}\mbox{ e b }\in \mathbb{z}*\}

A dízima periódica é um número decimal que possui repetição de termos numéricos depois da vírgula. A partir da dízima periódica é possível obter a fração que a gerou, ela é chamada de Fração Geratriz.

O número que repete infinitamente na dízima periódica é chamado de período, o mesmo pode ser do tipo simples ou composto.

Período simples

Quando a dízima periódica é do tipo simples, o seu período é composto por um mesmo número ou conjunto de números que se repeti infinitamente.

Exemplo:

  • 0,222... Período simples igual a 2
  • 1,2424... Período simples igual a 24

Período composto

Uma dízima periódica é considerada composta, quando a mesma apresenta um anteperíodo que não se repete.

Exemplo:

  • 0,2444... anteperíodo igual a 2 e período igual a 4
  • 4,3522... anteperíodo igual a 35 e período igual a 2

Vamos agora aprender como transformamos dízima periódica simples e composta em fração.

Transformação de dízima periódica simples em fração

Para realizarmos essa transformação, devemos utilizar o período como numerador da fração e o denominador será formado pelo dígito 9. O que determina a quantidade de dígitos 9 que serão utilizados é a quantidade de termos do período. Observe os exemplos:

Exemplo 1: Transforme a dízima periódica 0,222... em fração.

0,222\ldots = \frac{2}{9}

O numerador da fração é 2, pois ele é o período da dízima. Já o denominador é 9, pois o período e composto por somente um número.

Exemplo 2: Transforme a dízima periódica 1,2424... em fração.

Como a dízima possui uma parte inteira temos que destaca-la, fazendo a fração somente da parte decimal.

1,2424\ldots = 1 + 0,2424\ldots = 1 + \frac{24}{99} = 1 \frac{24}{99}

Nessa dízima periódica, o período é representado por 24, por esse motivo ele é o numerador. Já o denominador e 99, por que o período é composto por dois números.

Note que 1 \frac{24}{99} é uma fração mista, podemos transformá-la em uma fração imprópria:

1 \frac{24}{99} = 1 + \frac{24}{99} = \frac{99+24}{99} = \frac{123}{99} = \frac{41}{33}

Transformação de dízima periódica composta em fração

Para transformarmos uma dízima periódica composta em fração, devemos descobrir o número referente ao numerador e denominador. O numerador será formado pela seguinte subtração:

(Anteperíodo com período) – (anteperíodo)

Já o denominador é formado por 9 e 0, sendo que o 9 será a quantidade de dígitos do período e o zero a quantidade de dígitos do anteperÍodo. Para compreender melhor como realizamos essa transformação, acompanhe o exemplo a seguir:

Exemplo 3: Transforme a dízima periódica composta 0,2444 em fração geratriz.

Anteperíodo = 2
Quantidade de 9 no denominador: 1

Período = 4
Quantidade de 0 no denominador: 1

Fração Geratriz

\frac{\mbox{(Antiperiodo com periodo)-(antiperiodo)}}{\mbox{(numero composto de noves e zero)}} = \frac{24-2}{90} = \frac{22}{90} = \frac{11}{45}

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