Equações de 2º Grau (quadrática)

Por Thomas Carvalho
Uma relação de IR em IR recebe o nome de equação do 2º grau quando associa a cada elemento x \in \mathbb{R} , um elemento do tipo ax2 + bx + c, sempre com a diferente de 0, assim definida como uma função de f: IR → IR.

Exemplo :

x2 + 3x + 4 → a = 1, b = 3, c = 4

-2x2 -x +9 → a = -2, b = -1, c = 9

Onde a, b, c são denominados coeficientes.

Raízes de uma equação do 2º grau

ax2 + bx + c = 0 , para calcularmos o valor de x que satisfaz a igualdade iremos primeiro demonstrar a equação de Bháskara (1114-1185), o mais importante matemático do século XII.

ax2 + bx + c → 4a(ax2 + bx + c) = 0 → 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

Completando os quadrados temos que:

4a2x2 + 4abx+b2-b2+4ac = 0 , note que: 4a2x2 + 4abx+b2 = (2ax+b)2

Então: (2ax+b)2 - b2 + 4ac = 0 → (2ax+b)2 = b2 - 4ac

2ax + b = \pm \sqrt{b^2 -4ac} .

Por fim:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

onde iremos atribuir ao discriminante b2 - 4ac = ∆ ,

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

 

repare que :

Quando Δ > 0, obtemos duas raízes reais do tipo:

x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

e

x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

Quando Δ = 0, obtemos uma raiz real do tipo:  x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} .

Quando Δ < 0, obtemos duas raízes não reais, assim \Delta \notin \mathbb{R} .

Método rápido para resolução de uma equação do 2º grau ( Soma e Produto das Raízes)

Repare que: x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}   , assim x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}

e ainda que x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}   , assim x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Resumindo a soma das raízes é \frac{-b}{a}   e o produto delas é \frac{c}{a}   .

Exemplo:

assim x1 = 3 e x2 = 2 ou vice-versa.

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