Equações de 2º Grau (quadrática)

Uma relação de IR em IR recebe o nome de equação do 2º grau quando associa a cada elemento x IR , um elemento do tipo ax² + bx + c, sempre com a diferente de 0, assim definida como uma função de f: IR → IR.

Exemplo :

x² + 3x + 4 → a = 1, b = 3, c = 4

-2x² -x +9 → a = -2, b = -1, c = 9

Onde a, b, c são denominados coeficientes.

Raízes de uma equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0 , para calcularmos o valor de x que satisfaz a igualdade iremos primeiro demonstrar a equação de Bháskara (1114-1185), o mais importante matemático do século XII.

ax² + bx + c → 4a(ax² + bx + c) = 0 → 4a²x² + 4abx + 4ac = 0

Completando os quadrados temos que:

4a²x² + 4abx+b²-b²+4ac = 0 , note que: 4a²x² + 4abx+b² = (2ax+b)²

Então: (2ax+b)² - b² + 4ac = 0 → (2ax+b)² = b² - 4ac

,

Por fim: onde iremos atribuir ao discriminante b² - 4ac = ∆ ,



repare que :

Quando Δ > 0, obtemos duas raízes reais do tipo: ,
Quando Δ = 0, obtemos uma raiz real do tipo:
Quando Δ > 0, obtemos duas raízes não reais, assim .

Método rápido para resolução de uma equação do 2º grau. ( Soma e Produto das Raízes)

Repare que: , assim
e ainda que , assim
Resumindo a soma das raízes é e o produto delas é .

Exemplo:


assim x₁ = 3 e x₂ = 2 ou vice-versa.