Juros Simples e Juros Compostos (matematica financeira)

Por mausim
Curso de Matemática Financeira

Vimos no primeiro texto sobre Juros Simples que a fórmula clássica para o cálculo de juro simples é:

j = C x r / 100,

sendo

C = Capital
r = a taxa percentual.

Agora vamos tratar do tempo.

Se alguém empresta dinheiro a 3%a.m., isto significa por convenção (combinação, acordo, trato entre pessoas) que para cada R$ 100,00 embutidos no valor do empréstimo, R$ 3,00 deverão ser pagos como aluguel desse dinheiro todo o mês.

'a.m.', então, é uma combinação (convenção) entre pessoas, que quer dizer 'ao mês', 'todo mês', 'por mês'.
Poderia ser 'a.a.', que significaria 'ao ano', 'por ano'.

Então, simplesmente - caso seja uma taxa 'a.m.' - a gente multiplica o que se ganha de juro pelo tempo em meses que o dinheiro ficou à disposição de quem o tomou. Logo, o juro que sai de

j = r x C / 100

vai se repetir 't' meses e a fórmula é simplesmente afetada disto, passando a ser

j = r x C / 100 x t

ou

j = Cit/100 (como nos livros).

Se o tomador permanecer 3 meses com o dinheiro do empréstimo, terá de pagar 3 x j, ou seja, r x C / 100 x 3, que pode se entendido que ele pagará três vezes mais juros do que alguém que ficaria apenas um período.

Mas vamos tratar de 't' valendo 1 mês para construirmos nossa história. Assim, ainda não precisamos escrevê-lo na fórmula. Vamos entender que o 'contrato' é de um período apenas. Pode ser o empréstimo por apenas um mês.

A Caderneta de Poupança, por exemplo, paga 6%a.a. ao depositante (veja que o depositante aqui é quem empresta dinheiro ao banco).

Mas as sutilezas, com o desenvolvimento das relações comerciais, vão se refinando.
Uma pergunta: No caso da Caderneta de Poupança, isto significa que quem depositar seu dinheiro lá irá receber R$ 6,00 por cada R$ 100,00 somente quando seu depósito fizer um ano?
Nada impediria que fosse assim. Quem quiser emprestar dinheiro e pôr a mão nos juros após um ano de empréstimo pode fazer isto.

Mas, combinou-se outra coisa: a Caderneta de Poupança iria pagar todo mês.

Mas aí vem uma pergunta: como isso? Se eu tenho um contrato com a Caixa Econômica de receber 6% ao ano, como é que ela vai pagar ao mês?
É assim mesmo, pois entra aí uma outra coisa nova: o regime de capitalização.

O que é isto? Nada de mais, apenas quer dizer que, embora o contrato diga que os juros serão pagos ao depositante à taxa de 6%a.a. (R$ 6,00 de juros a cada ano para R$ 100,00 depositados), combinou-se que o cálculo será feito à taxa equivalente a cada mês de decurso do empréstimo, pelo tempo em meses combinado entre as partes em que estiver valendo a operação.

O regime de capitalização, no nosso exemplo, é mensal. Equivale a dizer 'todo mês faça o cálculo do juro'.

Então, o equivalente a um mês de uma taxa de 6%a.a. é 6a.a./12, ou seja, 0,5%a.m.

A taxa de 6%a.a. então é dita 'taxa nominal', pois é uma taxa só de nome. Ela, integralmente, não serve ao cálculo efetivo de juro. E esta divisão por 12 é uma convenção também. Poderia ser feita de outro jeito, mas combinou-se assim. Uma divisão simples.

Por conseqüência, a verdadeira taxa da Caderneta de Poupança é 0,5%a.m. e é esta que deve ser incluída no cálculo.

Então, o juro da Caderneta de Poupança deve ser calculado - como todo juro -conforme a fórmula clássica:

j = 0,5 x C / 100.

Então vamos fazer continhas. Vamos supor alguém deposite R$ 500,00 na Caderneta de Poupança no primeiro dia útil do ano, só para facilitar tudo.

02/01/2006 -> R$ 500,00.

Quando chegar no dia 02/02/2006, há a contagem do juro:

j = 0,5 x 500,00 / 100 = R$ 2,50.

Então, a Caixa Econômica Federal deposita os R$ 2,50 na conta do depositante como aluguel do dinheiro. Esta conta-poupança fica, então, com o valor de R$ 502,50.
Este valor, por convenção (combinação entre as pessoas) passa a se chamar Montante.

Montante é o que havia antes do juros, mais os juros.

Mas aí, nosso depositante, que é uma pessoa muito influenciável, ouve falar que um outro banco paga uma taxa melhor na Caderneta de Poupança, sem saber que o sistema é unificado e as Cadernetas de Poupança obedecem sempre à regra da Caixa Econômica Federal, e saca totalmente o valor do montante. E leva para outro banco o valor total de R$ 502,50, abrindo uma nova conta.

Então, neste novo banco, ele deposita, no mesmo dia 2/2 o seu dinheiro para uma nova aplicação.

02/02/2006 -> R$ 502,50.

No dia 02/03/2006, um mês após, o novo banco paga-lhe a taxa padrão, isto é,

j = 0,5 x 502,50 / 100 = R$ 2,5125.

Como não temos representação além da dos centavos, o banco deposita R$ 2,51 em sua conta, agora somando os R$ 502,50 iniciais com os novos juros, isto é, indo o Montante para R$ 505,01.

Não satisfeito com o juro pago, ele retira o dinheiro deste banco e vai a outra Caderneta de Poupança com a mesma ilusão de ganhar mais do que antes e abre uma nova conta.

02/03/2006 -> R$ 505,01.

No dia 02/04/2006 ele vai ao banco e encontra o juro de

j = 0,5 x 505,01 / 100 = R$ 2,52,

perfazendo o montante de R$ 507,53.

Nosso amigo então percebe que perdeu tempo, teve trabalho de abrir contas desnecessariamente. Se ele tivesse deixado o dinheiro no primeiro banco, o valor seria o mesmo, pois as regras de cálculos são as mesmas e foram aplicadas sempre sobre o valor que teriam caso ficassem numa mesma instituição bancária.

Agora vamos ver o que aconteceria, caso nosso ambicioso depositante deixasse seu dinheiro na primeira conta, sem abrir todas aquelas outras.

500,00.
1o. Juro -> 0,5 x 500,00 / 100 = 2,50.

500,00 + 2,50 = 502,50.
2o. Juro -> 0,5 x 502,50 / 100 = 2,51.

502,50 + 2,51 = R$ 505,01
3o. Juro -> 0,5 x 505,01 / 100 = 2,52.
505,01 + 2,52 = 507,53.

Para prosseguir, relembremos que

Montante (M) é igual ao Capital ( C ) acrescido dos juros (j) no fim do período.

M = C + j

M = C + r x C / 100

Para facilitar, vamos dizer que não seja C o numerador daquela fraça, mas 'r'. Reescrevamos e não mudemos nada

M = C + r / 100 x C

Para facilitar a visualização, uma vez que a divisão é por uma constante, que tal escondê-la, sem deixar de considerá-la?

Vamos trocar a alíquota 'r' por 'i', significando r/100.

M = C + i x C

Ou

M = C + Ci

ou

M = C ( 1 + i ) ---> (1)

Então, se formos calcular o montante de R$ 500,00 aplicados por 1 mês, à taxa de 0,5%a.m., faríamos assim

r = 0,5; i=0,005

M = 500 ( 1 + 0,005) ou

M = 500 ( 1,005).

Aquele '1' do '1 + 0,005' representa o valor aplicado anterior.

Veja que realmente esta última fórmula dá o primeiro valor calculado ao fim do primeiro mês.

R$ 502,50.

Voltemos a (1)

M = C ( 1 + i )

Isto daria o primeiro montante.

Mas, lembra?, o primeiro montante é o 'capital' da segunda aplicação:

M2 = 'M' vezes a partícula que afeta o valor aplicado.

Releia:

M2 = { C ( 1 + i ) } x (1 + i )

Veja, (1 + i) está sendo multiplicado por si mesmo, ou seja

M2 = C ( 1 + i ) ^ 2.

Continuando,

M3 = 'M2' vezes a partícula que afeta o valor aplicado.

Reescrevendo M3,

M3 = { C ( 1 + i ) ^2 } x ( 1 + i)

que você pode simplificar para

M3 = C ( 1 + i ) ^ 3.

Se formos ver a aplicação inicial de R$ 500,00 no início de nossa história, teremos que

M3 = 500,00 x ( 1 + 0,005 ) ^ 3

que resulta

R$ 507,53.

Você viu que, na nossa história de alguém depositar um valor inicial e retirar após o primeiro período esse valor mais seus juros, abrir uma nova conta com o montante arrecadado e fazer uma nova aplicação para repetir isto mais à frente, resultou em cálculos isolados de juros simples.

Entretanto, o valor final, utilizando-se o recurso do cálculo de Juros Compostos levou ao mesmo resultado.

Isto funcionou em ambos os casos em virtude da taxa de aplicação (no caso, 0,5% a.m.) ser a mesma, e o valor inicial também o mesmo.

Por fim, juros compostos tratam de montantes (valor mais aluguel do valor). Ou sejam, juros simples reaplicados a cada período.