Negação de Proposições Compostas

Por Thiago Trigo
Após um prévio conhecimento sobre as definições de proposições (conectivos lógicos, tabela verdade, negação de uma proposição simples) podemos iniciar o estudo sobre “negação de proposições compostas”, mas antes iremos definir o que é equivalência lógica.

Equivalência lógica

São proposições que apresentam a mesma tabela verdade, ou seja, são proposições que expressas de um modo diferente possuem o mesmo valor lógico.

Ex:

Se Brasília é a Capital do Brasil então Santiago é a Capital do Chile (p → q)

Se Santiago não é a capital do Chile então Brasília não é a Capital do Brasil.(¬q → ¬p)

Vejamos as tabelas verdade de ambas às proposições compostas:

Condicional: p → q

P

Q

P → Q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Condicional: ¬q → ¬p

¬Q

¬P

¬Q → ¬P

F

F

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

Podemos verificar que as duas proposições possuem a mesma tabela verdade (valoração), portanto são equivalentes.

P → Q <=> ¬Q → ¬P  (Representação da “equivalência lógica”)

Agora passemos para  negação das proposições compostas

Negação da operação da Conjunção. “p e q”

¬(P ^ Q )  <=> ¬P v ¬Q

Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “E” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo  “e” pelo conectivo”ou”. Ou seja, transformaremos uma conjunção em uma disjunção. Vejamos;

Ex:“Pedro é Mineiro e João é Capixaba”.

  • P= Pedro é Mineiro
  • Q= João é Capixaba

Negando-a ,temos;

Pedro não é mineiro ou João não é capixaba.

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.

P

Q

P ^ Q

¬(P ^ Q)

¬P

¬Q

¬P v ¬Q

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

Negação da operação da Disjunção Inclusiva. “p ou q”

P v Q  <=>  ¬P ^ ¬Q  (Lei de Morgan)

Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “OU” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo  “ou” pelo conectivo”e”. Ou seja, “transformaremos” uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Vejamos;

“Augusto é feio ou Maria é Bonita”.

  • P= Augusto é feio
  • Q= Maria é bonita

Negando-a, temos;

“Augusto não é feio e Maria não é bonita”  .

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.

P

Q

P v Q

¬(P v Q)

¬P

¬Q

¬P ^ ¬Q

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

Negação da operação da Disjunção Exclusiva. “ou p ou q”

¬(P v Q) <=> P ↔ Q

Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva , transformá-la-emos  em uma estrutura bicondicional. Vejamos;

“Ou  João é rico  ou Pedro é Bonito”.

  • P= João é rico
  • Q= Pedro é Bonito

Negando-a temos;

“João é rico se e somente se Pedro é bonito”

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição

P

Q

P v Q

¬(P v Q)

P ↔ Q

V

V

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

Obviamente podemos perceber que a negação de uma estrutura bicondicional é também a disjunção exclusiva

Negação da operação da condicional (ou implicação).

 ¬ (p → q) <=> p^ ¬q

Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte troca-se o conectivo por “e” e nega-se a segunda parte.Vejamos

Ex: Se sou inteligente então passarei de ano.

  • P= Sou inteligente
  • Q= Passarei de ano

Negando-a, temos;

“Sou inteligente e não passarei de ano”

Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.

P

Q

P → Q

¬(P → Q)

¬Q

P ^ ¬Q

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

F

F

F

V

F

V

F