Progressão aritmética

Definimos Progressão Aritmética (P.A) como sendo uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do termo anterior com uma constante. Na P.A temos a presença de uma constante chamada de razão (r), sendo a mesma obtida por meio da diferença de um termo da sequência pelo seu anterior. Confira alguns exemplos:

A sequência (1, 4, 7, 10, 13, 16) é uma P.A.
A razão da P.A é representada por r = 4 - 1 = 3

A sequência (1, 6, 11, 16, 21...) é uma P.A.
A razão da P.A é representada por r = 6 – 1 = 5

Classificação das Progressões aritméticas

As progressões aritméticas podem ser classificadas em: crescente, decrescente e constante.

Crescente: Para que uma P.A seja crescente a sua razão (r) deve ser positiva, ou seja, r > 0. A sequência numérica será crescente quando, cada termo a partir do segundo for maior que o antecessor. Exemplo: (1, 3, 5, 7, ...) é uma P.A crescente de razão 2.

Decrescente: Uma P.A será decrescente se a sua razão (r) for negativa, ou seja, r < 0. A sequência numérica será decrescente quando, cada termo a partir do segundo for menor que o antecessor. Exemplo: (15, 10, 5, 0, -5 ...) é uma P.A decrescente de razão – 5.

Constante: Para uma P.A ser constante a sua razão deve ser nula, ou seja, r = 0. Todos os seus termos serão iguais. Exemplo: (2, 2, 2, ...) é uma P.A constante de razão nula.

Fórmula do termo geral de uma Progressão aritmética

Quando partimos do primeiro termo da sequência, a fórmula do termo geral de uma P.A (a1, a2, a3, ...,, an, ...) de razão r é representada por:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r

  • an = Termo geral
  • a1 = Primeiro termo da sequência.
  • n = Número de termos da P.A. ou posição do termo numérico na P.A
  • r = Razão

Exemplo: Determine o 20º termo da P.A. (2, 4, 6, 8 ...)

Dados da questão: a1 = 2, r = 2, n = 20, a20 = ?

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r

a_{20} = 2 + (20 - 1) \cdot 2

a_{20} = 2 + (19) \cdot 2

a_{20} = 2 + 38 = 40

O vigésimo termo da P.A. é 40.

Exemplo: Determine o número de termos da P.A.(5, 10, 15,..., 120).

Dados da questão: a1 = 5, r = 5, n = ?, an = 120

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r

120 = 5+ (n - 1) \cdot 5

120 = 5+ 5n -5

-5n = + 5 - 5 - 120

-5n = 0 - 120

-5n = -120 \cdot (-1)

5n = 120

n = \frac{120}{5} = 24

A progressão aritmética (5, 10, 15,..., 120), possui 24 termos.

Propriedades de uma PA

Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

→ Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior.

a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}\text{ , } (k \geq 2)

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

a_5 = \frac{a_4 + a_6}{2}

→ A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

\text{a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n}

a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = a_4 + a_{n-3} = ... = a_1 + a_n

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos:

3+21 = 1+23 = 24
5+19 = 1+23 = 24
7+17 = 1+23 = 24
9+15 = 1+23 = 24
11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. Veja por exemplo que a PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central é 10, logo:

a_4 = \frac{a_1 + a_7}{2} = \frac{1 + 19}{2} = 10

Soma dos termos de uma PA finita

É dada pela fórmula:

S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}

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