Resolução de problemas envolvendo sistemas de equações de 2º grau

Alguns problemas do dia a dia ou até mesmo especificamente matemáticos são resolvidos a partir de sistemas de equações. No caso específico deste trabalho, a abordagem é focada apenas nas equações de 2º grau e os sistemas gerados a partir delas. Lembre-se, que resolver problemas exige leitura, boa interpretação, raciocínio lógico e habilidade com cálculos matemáticos, portanto, você deverá estar sempre atento aos detalhes implícitos ou explícitos embutidos nas questões.

Problemas

Antes de visualizar as resoluções para os problemas a seguir, tente resolvê-los com os próprios esforços e conhecimentos previamente adquiridos. Caso consiga, compare as suas resoluções com as propostas; caso não consiga, estude atentamente cada uma das escritas neste trabalho. Estes problemas foram extraídos dos textos destacados nas referências bibliográficas, com exceção das respectivas resoluções.

  • Problema I: Paulo pensou em um número maior que 10 e menor que 100. A soma dos seus algarismos é 15 e o produto é 56. Qual é esse número?
  • Problema II: Quais são os dois números reais cuja diferença e cujo produto são iguais a 6?

Resoluções

Problema I

Paulo pensou em um número maior que 10 e menor que 100. A soma dos seus algarismos é 15 e o produto é 56. Qual é esse número?

Vamos extrair as informações principais dos enunciados.

  • Paulo pensou em um número maior que 10 e menor que 100. Chamando esse número de B, temos: 10 < B < 100.]
  • A soma dos seus algarismos é 15. Como o número está entre 10 e 100, ele não pode ter mais de dois algarismos. Portanto, chamando os algarismos de x e de y respectivamente, temos: x + y = 15.
  • O produto de seus algarismos é 56: xy = 56.

Estas informações nos fornece o sistema de equações \begin{cases} x + y = 15 & \mbox{(I)} \\ xy = 56 &\mbox{(II)}\end{cases}

problemas sistemas de equacoes1

problemas sistemas de equacoes2

Portanto, o número pensado por Paulo pode ser 87 (quando x = 8) ou 78 (quando x = 7).

Substitua os valos encontrados nas equações e comprove a veracidade das soluções.

Problema II

Quais são os dois números reais cuja diferença e cujo produto são iguais a 6?

Extraindo as informações do problema:

  • Representando os números reais por x e y, temos: x – y = 6 e xy = 6

O problema gera o sistema \begin{cases} x - y = 6 & \mbox{(I)} \\ xy = 6 &\mbox{(II)}\end{cases}

problemas sistemas de equacoes3

problemas sistemas de equacoes4

Os números reais que estávamos procurando são: 3 + \sqrt{15} e -3 + \sqrt{15} ou 3 - \sqrt{15} e -3 - \sqrt{15}

Substitua os valos encontrados nas equações e comprove a veracidade das soluções.

“As resoluções de problemas são excelentes oportunidades para a expansão do intelecto.”

(Robison Sá)

Referências bibliográficas:
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática, 9º ano. – 2. ed. – São Paulo: Moderna, 2012.
MORI, Iracema; SATIKO, Dulce. Matemática: ideias e desafios, 9º ano. – 17. ed. – São Paulo: Saraiva, 2012.

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