Teorema da decomposição LU

Quando trabalhamos com matriz algumas vezes escrever elas como um produto entre duas matrizes conhecidas, ou mais simples, facilita nossos cálculos. A esse processo damos o nome de decomposição de matrizes. Existem várias técnicas de decomposição de matrizes, aqui vamos ver a chamada de decomposição LU.

Teorema da decomposição LU

A decomposição LU é uma técnica interessante utilizada para resolver sistemas lineares e para diminuir o número de cálculos em algumas operações, por exemplo, quando calculamos a matriz inversa.

Uma matriz é chamada de matriz triangular superior (U) se qualquer entrada abaixo da diagonal principal for zero. Por exemplo:

Já uma matriz é chamada de matriz triangular inferior (L) se qualquer entrada acima da diagonal for zero e as entradas da diagonal principal forem sempre 1. Por exemplo:

Agora, podemos definir formalmente o que é a decomposição LU.

Definição: Seja A = (a_ij) uma matriz quadrada de ordem n. Então existe uma única matriz triangular inferior L = (l_ij), com l₁₁ = l₂₂ =... = l_nn = 1, e uma única matriz triangular superior U = (u_ij), tal que L.U = A..

De maneira resumida, queremos escrever a matriz A como uma multiplicação de outras matrizes (L e U), de forma que A = L. U. Para entender como fazer isso vejamos um exemplo.

Exemplo:

Resolva o seguinte sistema linear:

1) Escrevemos o sistema linear na forma matricial:

onde vamos denominar

2) Encontramos a matriz U (usando, por exemplo, o método de eliminação de Gauss):

• Lembrando que para usar a eliminação de Gauss: i) Copiamos a primeira linha, ii) achamos o pivô, iii) encontramos o multiplicador, iv) zeramos o primeiro elemento e v) repetimos o procedimento até zerar os outros termos abaixo da diagonal principal, obtendo:

3) Encontramos a matriz L:

• Lembrando que para encontrar a matriz L: i) escrevemos a diagonal principal toda igual a 1, ii) colocamos os elementos acima do triângulo serão 0 e iii) achamos os outros três elementos usando os multiplicadores encontrados no método de Gauss. Com isso obtemos:

4) Resolvemos o novo sistema encontrado:

• Colocando na notação para matriz, o que temos é:

• Resolvendo o sistema L.Y=B:

• Resolvendo o sistema Y=U.X:

Observação:

• Nesse exemplo, aparentemente fizemos a mesma coisa que faríamos se resolvêssemos o sistema direto, porém, em exercícios mais complexos esse método acaba tornando os cálculos mais simples.
• Como a intenção desse método é decompor a matriz principal em matrizes com entradas iguais a zero, ao resolvermos esses sistemas acabamos caindo em problemas mais simples de resolver.

Referência:

COSTA, Alysson M. Sistemas lineares e Decomposição LU. Disciplina de Cálculo Numérico e Métodos Numéricos do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC), Universidade de São Paulo (USP). Disponível em: <https://sites.icmc.usp.br/andretta/ensino/aulas/sme0301-1-10/SistemasLinearesLU.pdf >. Acessado em: 03/12/2021. São Paulo, 2008.