Lógica modal

Mestre em Filosofia (UFPR, 2013)
Bacharel em Filosofia (UFPR, 2010)

Desenvolvida na década de 1960, a lógica modal expandiu a lógica clássica, proposicional e de predicados, incluindo operadores que expressam a modalidade. Desta forma expandindo também as possibilidades de uso da lógica para a análise e solução de problemas em filosofia da linguagem e da ciência.

Modalidade refere-se aos modos, especialmente possibilidade, impossibilidade, probabilidade e necessidade, sendo a lógica modal desenvolvida prioritariamente para lidar com estes conceitos. Formalmente, a modalidade é expressa utilizando os chamados operadores modais. Por exemplo, a afirmação "Paulo está triste" pode ser qualificada como "Paulo é usualmente triste", o termo "usualmente" neste caso é um modo, expressa a modalidade. Para utilizar um operador modal clássico, temos o exemplo: "pode fazer Sol hoje" e "talvez faça Sol hoje", ambas as frases expressam possibilidade. Temos, neste caso, o operador modal "possível" associado a frase "fará Sol hoje".

A notação padrão unária (de um lugar) para operadores modais é usualmente escrita como □ para Necessidade e ◊ para Possibilidade. Formalmente cada um pode ser expresso pela sua negação (¬):

◊P ↔ ¬ □ ¬ P significando que "possivelmente P" equivale a "não necessariamente não P" ou "não é necessário que P não seja o caso".

□P ↔ ¬ ◊ ¬ P significando que "necessariamente P" equivale a "não possivelmente não P" ou "não é possível que P não seja o caso".

Se, por exemplo, em dado contexto P significa "choverá hoje", é possível que chova hoje se, e somente se, não for necessário que não "choverá hoje". Por outro lado, é necessário que chova hoje se, e somente se, não for possível que não "choverá hoje".

Embora tenha se desenvolvido na década de 1960, a história da lógica modal começa em 1906, com a publicação da obra Symbolic Logic and its Applications, de Hugh MacColl. MacColl lançou as bases do que viria a ser a lógica modal e foi sucedido neste trabalho por Clarence Irving Lewis que em 1918 publicou sua obra A Survey of Symbolic Logic, baseada em seus estudos sobre a obra Principia Mathematica de Bertrand Russell, particularmente na sua decisão de excluir a implicação material, um recurso que permitia que um consequente verdadeiro se seguisse de um antecedente falso. Lewis substituiu a implicação material por uma implicação restrita, evitando que antecedentes falsos pudessem implicar consequentes verdadeiros em seu modelo de lógica. Para tanto, além da negação e da conjunção Lewis utilizou-se de um operador modal intencional unário que indicava possibilidade, cuja notação é um losango. A proposta de Lewis hoje é recusada, tendo-se o operador de necessidade, cuja notação é um quadrado, como primitivo e o de possibilidade como derivado.

Ao longo do século XX vários modelos foram propostos até o estabelecimento da lógica modal, sendo os principais: Sistema T, proposto por Robert Feyes, Sistema M, proposto por Georg Henrik von Wright. O sistema M foi posteriormente utilizado por C. I. Lewis como complemento em seus sistema S1, S2, S3, S4 e S5, criados na obra de 1932 e desenvolvidos na década de 1950, cujos estudos levaram a novos desenvolvimentos e, em ultima análise, ao estabelecimento do Sistema Modal Normal Mínimo K, desenvolvido pelo renomado filósofo Saul Kripke. O sistema proposto por Kripke, baseado em sua semântica de mundos possíveis, ou semântica Kripke, tornou-se o padrão em lógica modal, inaugurando a era atual da lógica.

O filósofo Arthur Norman Prior, que correspondeu-se com Kripke durante o desenvolvimento do Sistema K, procedeu a criação da lógica temporal, utilizando os operadores modais [F] para "futuramente" e [P] para "previamente". Desenvolvimentos posteriores em lógica temporal incluem diversos ramos aplicados, entre eles: Lógica Hennessy-Milner; Lógica Temporal Linear; Lógica Temporal Proposicional Linear; Lógica Dinâmica proposicional; e Lógica de Árvore de Computação.

Referências bibliográficas:

Blackburn, P.; van Benthem, J.; and Wolter, Frank; Eds. (2006) Handbook of Modal Logic. North Holland.

Blackburn, Patrick; de Rijke, Maarten; and Venema, Yde (2001) Modal Logic. Cambridge University Press.

GORSKY, Samir. A semântica algébrica para a lógica modal e seu interesse filosófico. Dissertação de mestrado. IFCH-UNICAMP. 2008.

Kripke, Saul. Naming and Necessity. Harvard UP. 1980.

Kripke, Saul. O Nomear e a Necessidade. Tradução de Ricardo Santos e Teresa Filipe. Gradiva, Lisboa. 2012.

Lewis, C. I. (with Langford, C. H.) (1932). Symbolic Logic. Dover reprint, 1959.

Prior, A. N. (1957) Time and Modality. Oxford University Press.

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