Circunferência

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos que equidistam igualmente de um ponto fixo, chamado de centro. A essa distância entre o centro e cada ponto, chamamos de raio (r).

Matematicamente, uma circunferência 𝛌(O, r) é denotada por: \lambda (O, r) = \{P | d_{PO} =r\}.

Assim, todos os pontos da circunferência têm a mesma distância ao centro. A distância do ponto A até o centro, por exemplo, é a mesma entre o ponto B e o centro.

Posição relativa de um ponto

Podemos determinar a posição de um ponto em relação à uma circunferência sem ter que “desenhar o ponto e a circunferência”.

Um ponto pode ser interno, externo ou pertencer à circunferência. Vamos considerar um ponto x qualquer.

Se x é interno à circunferência, d_{ox} < r.

Se x pertence à circunferência, d_{ox} = r.

Se x é externo à circunferência, d_{ox} > r.

Interior e exterior

O conjunto de todos os pontos que estão fora da circunferência é chamado de seu “exterior”.

O conjunto de todos os pontos que estão dentro da circunferência é chamado de seu “interior”.

Assim, Considerando uma circunferência 𝛌(O, r), circunferência de centro O e raio r, podemos dizer que:

Interior: \{ P | d_{PO} > r \}

Interior: \{ P | d_{PO} < r \}

Onde P é um ponto qualquer que pode estar dentro ou fora da circunferência.

Corda, diâmetro e raio

A corda de uma circunferência é o segmento que possui as duas extremidades pertencentes à circunferência. Na figura, AB é uma corda.

O diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Na figura, CD é um diâmetro.

O raio de uma circunferência é um segmento que possui uma extremidade no centro e outra pertencente à circunferência. Em qualquer circunferência, o raio sempre será metade do diâmetro. Na figura, OE é um raio.

Arco de circunferência e semicircunferência

Dada uma circunferência qualquer e dois pontos A e B, que não podem ser as extremidades de um diâmetro, chamamos de arco o conjunto de pontos que pertencem a circunferência que estão entre A e B. Também é um arco o conjunto de pontos que estão entre B e A.

Podemos dizer que arcos são “pedaços” da circunferência. Uma circunferência com pontos A e B sempre delimitarão dois arcos, um maior e outro menor.

Quando os pontos A e B forem extremidades de um diâmetro, o arco será igual o arco e este arco damos o nome de semicircunferência.

Círculo

Podemos definir um círculo como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma circunferência, ou seja, é o espaço contido dentro da circunferência.

Assim, fica claro que:

  • Circunferência: apenas a “linha” exterior.
  • Círculo: circunferência mais o que está dentro dela.

Área de um círculo

A área de um círculo pode ser determinada matematicamente por:

A = \pi r^2

Onde r é a medida do círculo e um valor constante e usualmente igual a 3,14.

Setor circular

Um setor circular é uma região do círculo delimitada por dois de seus raios, partindo do centro e um arco

Usualmente podemos chamar um setor circular de “fatia de pizza”, pelo seu formato. O ângulo \theta é chamado de ângulo central.

Observe que sempre temos dois setores circulares, um maior e outro menor (partes cinza e azul, respectivamente).

Para calcular a área de um setor circular, utilizamos as fórmulas:

A_{\text{setor}} = \frac{\theta \cdot \pi r^2}{360^o}

e

A_{\text{setor}} = \frac{Lr}{2}

Onde na primeira, necessitamos do valor do ângulo e do raio do setor e na segunda, precisamos do raio e do comprimento do arco L do setor.

Perímetro de uma circunferência

Em qualquer circunferência, a razão entre a medida C do comprimento (perímetro) e a medida 2r de seu diâmetro (já que o diâmetro é o dobro do raio, ou o raio é metade do diâmetro) é constante. Ou seja, se pegarmos uma circunferência qualquer, a razão \frac{C}{2r} será sempre a mesma em qualquer outra circunferência.

Esse valor constante, \frac{C}{2r}, é chamado de \pi (Pi). Este número tem infinitas casas decimais, pois é um número irracional. Seu valor aproximado é 3,14159265... .

Usualmente consideramos que \pi = 3,14.

Então, partindo da igualdade \frac{C}{2r} = \pi, concluímos que C = 2\pi r.

Então, o perímetro de uma circunferência, chamado apenas de comprimento, é determinado pelo produto do diâmetro (d = 2r) por \pi.

Exemplos

1. Qual o perímetro de uma circunferência cujo raio mede 3 cm?

Aplicando a fórmula:

C = 2\pi r

C = 2 \cdot 3,14 \cdot 3

C = 18,84 cm

2. (Enem–2010). Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.

Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a

  • A) 12 cm.
  • b) 12 \sqrt{2} cm.
  • C) 24 \sqrt{2} cm.
  • D) 6 (1+ \sqrt{2}) cm.
  • E) 12 (1+ \sqrt{2}) cm.

Traçamos uma linha que será a diagonal do tubo maior, o segmento AB.

Note que os segmentos CE e ED tem, ambos 12 cm, já que são compostos de dois raios, um de cada tubo menor.

Assim, o diâmetro do tubo maior será CD + AC + DB.

Como AC e DB medem 6 cm, pois são raios, temos que a medida AB será:

AB = 12 + CD.

Para calcular CD, podemos usar o Teorema de Pitágoras:

CD^2 = CE^2 + DE^2

CD^2 = 12^2 + 12^2

CD^2 = 144+144

CD^2 = 288

CD = \sqrt{288}

CD = 12 \sqrt{2} cm

Assim,

AB = 12 + 12 \sqrt{2} cm

AB = 12(1 + \sqrt{2}) cm

Mas veja que o exercício pede o raio, então basta dividir AB por 2:

AB = 6(1 + \sqrt{2}) cm

Referências:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Ângulos na circunferência. Vol. 3. São Paulo: Bernoulli.

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