Definição e Propriedades dos Logaritmos

Por Prof. Ailton Feitosa

1. Definição

A ideia que concebeu o logarítmo é muito simples, ou seja, podemos associar o termo Logarítmo, como sendo uma denominação para expoente. Dessa forma definimos de formalmente  logarítmos, da seguinte maneira:

Destacamos os seguintes elementos:

  • a = Base do logarítmo;
  • b = logarimando ou antilogaritmo
  • x = logarítmo

2. Consequências diretas da definição

A partir da defnição de logarítmo podemos, compreender alguns resultados, que comumente denominamo de consequências da definição.

Sendo b > 0 ,a > 0 e a ≠ 1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas consequências da definição de logaritmo:

3. Propriedades dos Logarítmos

3.1 Logaritmo do produto.

Se 0 < a1, b > 0 e c > 0, então loga(b.c) = loga b + loga c.

3.2- Logaritmo do quociente.

Se 0 < a1, b > 0 e c > 0, então logab/c  = loga b – loga c.

3.3- Logaritmo da potência.

Se 0 < a1, b > 0, então  loga(bn) = n . logab

Exemplo de aplicação: 

Se Log 9 = x, então Log 6 é:

Solução:

Sabendo que 9 = 32, então podemos reescrever Log 9 = Log 32 = 2.Log 3 = x, portanto,

Log 3 = x/2.

Por outra lado percebe que 6 = 2.3, então, temos:

Log 6 = Log (2.3) pela propriedade 3.1, podemos escrever:

Log (2.3) = Log 2 + Log 3

Log(2.3) = Log 2 + x/2.

Resposta: Log 6 = Log 2 + x/2

4. Mudança de Base

Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usamos:

OBS: Esse recurso é bastante útil para resoluções de várias questões referente a temática em questão.