Encontrando Listas de Números Não Primos

Introdução

O estudo da matemática é totalmente recheado de números misteriosos. Alguns consideram as manifestações de números totalmente mágicas. Outros relacionam essas mesmas manifestações com questões demoníacas. Vários encaram a linguagem matemática como a própria linguagem de Deus, uma linguagem universal, capaz de proporcionar comunicação com qualquer ser, em qualquer parte do infinito Universo.

São números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Números quadrados, triangulares, irmãos, primos etc. Os números realmente chegam a apresentar-se de maneira tão magnífica e mágica, que nos remete a ideia de divindade. O presente artigo tratará sobre uma propriedade curiosa e impressionante dos Números Não Primos: a que fala da construção de listas enormes de números não primos, mesmo levando em consideração a infinidade dos números primos.

Número Primo

Definição: número primo é aquele que pode ser dividido apenas por ele mesmo e pela unidade.

Exemplos:

  • 2 → divisores – 1 e 2
  • 3 → divisores – 1 e 3
  • 5 → divisores – 1 e 5
  • 7 → divisores – 1 e 7

Os números primos são infinitos.

Número Não Primo

Definição: número não primo é aquele que além de possuir como divisores a unidade e ele próprio, ainda possui outro (s) divisor (es).

Exemplos:

  • 4 → divisores – 1, 2 e 4
  • 6 → divisores – 1, 2, 3 e 6
  • 8 → divisores – 1, 2, 4 e 8

Após analisar as definições acima, tente responder a seguinte pergunta: será possível construir uma lista de cinco números consecutivos não primos? Pense bem!

Vejamos. Vimos anteriormente que os números primos são infinitos. Como acharemos uma lista de números consecutivos não primos, mesmo levando em consideração que esta sequência deverá estar situada em meio à imensidade de números primos infinitamente existentes?

Este é um problema que já vem perturbando as cabeças dos interessados por matemática há anos. Vamos além da simples lista de cinco números apenas. E se quiséssemos uma lista de 1000 ou 1 000 000 de números consecutivos não primos, seria ela possível de ser encontrada? Calma. Vamos por parte.

Voltemos à primeira sequência: aquela de apenas cinco números consecutivos não primos. Se ela é possível? Sim. Ela é possível: 24, 25, 26, 27 e 28. Essa é apenas uma das possibilidades apresentadas pelo matemático Alexandre Eisenmann, no seu belíssimo artigo publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática (RPM, n. 77, p. 3-5). Veja que não há primo algum nesta sequência e que os números estão dispostos de maneira consecutiva.

Se tentarmos construir a sequência dos cinco números a partir do 4, por exemplo, teremos, logo em seguida, o número primo 5. Se tentarmos pelo 6, em seguida virá o 7, primo. Caso comecemos pelo 9, ao chegarmos no 11 já teremos um número primo. Ao continuar com este processo, chegar-se-á a conclusão de que a sequência 24, 25, 26, 27 e 28 é a única possível para esse início de conversa.

Alguns programas de computador, criados para este fim, são capazes de encontrar listas relativamente grandes de números consecutivos não primos. Porém, listas muito grandes (1 000 ou 1 000 000, por exemplo), ainda não podem ser encontradas. Digo impossível para a máquina. Por outro lado, se a máquina não consegue realizar tal feito, a mente humana deu um show de superação e mostrou que é possível encontrar listas de números não primos consecutivos tão grandes quanto desejarmos.

Para cumprir esta tarefa aparentemente impossível faremos uso de um Teorema que diz: “É possível conseguir listas de números consecutivos não primos de qualquer tamanho”. Em sua demonstração, não oferecida por Alexandre, nem por ele citado o autor, o teorema ainda oferece uma técnica que possibilita encontrar a tão almejada lista. Veja:

  • Escolha um número inteiro maior do que 1, por exemplo, n.
  • Calcule n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + n para obter o primeiro número da lista (neste caso, da lista de cinco números)

Atente-se ao fato de que a técnica não se refere se a lista a ser criada terá o seu início no menor número possível. Ela apenas fornece subsídios para a construção de uma lista.

Façamos n = 3.

3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3)(3 + 4) + 3 =

= 3 x 4 x 5 x 6 x 7 + 3 = 2 523 (primeiro número da lista)

A lista será: 2 523, 2 524, 2 525, 2 526, 2 527.

Eu poderia fazer n = 2, n = 4, n = 5 ou n igual a qualquer número natural maior do que 1.

Vamos procurar uma lista com 8 números consecutivos não primos. Neste caso, a fórmula fica da seguinte maneira:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)(n + 6)(n + 7) + n

Fazendo n = 2, tem-se:

2(2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)(2 + 4)(2 + 5)(2 + 6)(2 + 7) + 2 =

= 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 + 2 = 362 882 (primeiro número da lista)

Lista para oito números: 362 882, 362 883, 362 884, 362 885, 362 886, 362 887, 362 888, 362 889.

Dos exemplos acima já podemos concluir que as listas de 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000 etc. são possíveis. Por outro lado, se para uma pequena lista de oito números, já tivemos o primeiro número sendo o 362 882, imagine só qual será o primeiro número da lista de 1 000 000 000, por exemplo. Apesar do teorema estar correto e cumprir com o prometido, nossa limitação em calcular ou registrar números tão grandes, como esses certamente serão, nos impossibilita de ficar de fronte com tamanha magia: encontrar a lista aparentemente impossível dos números consecutivos não primos nas terras infinitamente povoadas pelos números primos.

Referência bibliográfica:

EISENMANN, Alexandre Luís Kundrát. Deserto de Números Primos. Revista do Professor de Matemática (RPM), n. 77, p. 3-5, 2012.

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