Fórmula de Bhaskara

Por Evandro Makiyama
A nome Fórmula de Bhaskara foi dada em homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do século XII.

A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax2+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

chamamos de discriminante: Δ = b2-4ac

Dependendo do sinal de Δ, temos:

  • Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.
  • Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes.
  • Δ<0, então a equação não tem raízes reais.

A ideia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja:

ax2+bx+c=0
a2x2+abx+ac=0
4a2x2+4abx+4ac=0
4a2x2+4abx+b2+4ac=b2
(2ax)2+2(2ax)b+b2=b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac

 

2ax + b = \pm \sqrt{b^2 -4ac} \rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.

Sendo x1 e x2 raízes da equação ax2+bx+c=0, então:

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 -ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}

S = x1+x2 = -b/a

x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 +4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

P = x1.x2 = c/a

A importância da Fórmula  de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Fisica por exemplo.

Bibliografia:

História da Matemática, Carl B. Boyer.