Igualdade de Matrizes

Por Robison Sá
O que hoje conhecemos como matriz nasceu de estudos realizados no final do século XVIII com os matemáticos Leibniz, na Alemanha, e Seki Kowa, no Japão. Eles desenvolveram um método de resolução de sistemas lineares baseados em tabelas de números semelhantes às matrizes modernas.  Ainda durante todo o século XVIII, matemáticos desenvolveram estudos alicerçados nas propriedades dessas tais tabelas. Pierre Laplace e Alexanre Vandermonde são exemplos deles.

Augustin Cauchy

Augustin Cauchy

Todo o desenvolvimento de propriedades e conceituações que utilizamos em dias atuais foram dados no século XX. O matemático Augustin Cauchy,  apresentou trabalho primordial sobre essas tabelas do qual derivaram outros importantes trabalhos de matemáticos como Jacobi, Arthur Cayley, James Sylvester e Francisco Brioschi.

Conceituando

Dizemos que duas matrizes A e B de mesma ordem são iguais quando os seus elementos correspondentes são iguais (A = B). Da mesma forma, se essas duas matrizes A e B não têm a mesma ordem ou se seus elementos correspondentes são diferentes, dizemos que elas são matrizes diferentes (A ≠ B).

A = B \leftrightarrow a_{ij} = b_{ij} \begin{cases}\text{para todo } 1 \leq i \leq m\\\text{para todo } 1 \leq j \leq n\end{cases}

Exemplo 1

As matrizes A = \left[\begin{array}{cc} 4 & 3^{2} \\ \sqrt{9} & -2 \end{array} \right] e B = \left[\begin{array}{cc} 3+1 & 9 \\ 3 & 1-3\end{array}\right] são iguais.

Veja que \left[\begin{array}{cc}4 & 3^{2} \\ \sqrt{9} & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3+1 & 9 \\ 3 & 1-3\end{array}\right] , pois ...

  • a11 = 4 = 3+1 = b11 → a11 = b11
  • a12 = 3² = 9 = b12 → a12 = b12
  • a21 = \sqrt{9} = 3 = b21 → a21 = b21
  • a22 = -2 = 1-3 = b22 → a22 = b22

Exemplo 2

igualdade de matrizes3

 

Aplicando os conceitos

Sabendo os conceitos sobre a igualdade de matrizes vamos resolver uma questão um pouco mais complexa envolvendo esta compreensão. Sempre que for necessário recorra aos exemplos dados anteriormente, como forma de esclarecimento e amenização das dificuldades que surgirem ao longo do caminho.

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igualdade de matrizes7

“A igualdade almejada pelo homem não está no aspecto físico, mas sim na espiritualidade.”

(Robison Sá)

Referências bibliográficas:
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática. – 1 ed. – São Paulo: FTD, 2010. – (Coleção novo olhar; v. 2)
YOUSSEF, Antonio Nicolau. Matemática: ensino médio, volume único / Antonio Nicolau Youssef, Elizabeth Soares, Vicente Paz Fernandez. – São Paulo: Scipione, 2005.