Matriz de Cofatores

Cofatores

Cofator é um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada.

Para definir cofator é necessário primeiro definir o menor principal ou menor complementar, associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada.

Menor Principal ou Menor Complementar

Seja a matriz quadrada cofatores1, definimos como menor principal (ou complementar) ao determinante da  matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j da matriz A, representamos o menor principal por D.

Exemplos:

Dada a matriz cofatores2, vamos:

a) Determinar o menor principal D11, associado ao elemento a11.

O menor principal associado ao elemento a11 é a matriz que se obtém eliminando a linha e a coluna e quem está o elemento a11.

cofatores3

O elemento a11 é o número 1. Eliminando a sua linha e a sua coluna obtemos a matriz A’,  associado ao elemento a11, que é a matriz quadrada formada pelos elementos restantes, isto é:

cofatores4

O menor principal será portanto o determinante de A’. Assim, temos que D11 = det(A’)

  • Det = (3.2)-(4.0)
  • Det = 6 – 0
  • Det  = 6

E, portanto:

D11 = 6

b) Determinar o menor principal associado ao elemento a22.

O elemento a22 é o número 3. Eliminando a sua linha e a sua coluna obtemos o a matriz A’, elemento a22, que é a matriz quadrada formada pelos elementos restantes, isto é:

cofatores5

Calculando o menor principal, isto é , o determinante de A’ (det (A’)), temos:

  • Det = (1.2) – (6.0)
  • Det = 2 – 0
  • Det = 2.

Portanto, D22 = 2

Cofator associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada

Uma vez definido o menor principal, podemos então definir cofator como segue:

O cofator ãij, associado a um elemento aij é definido por cofatores7

 

Exemplos:

Considerando a matriz cofatores2, vamos determinar o cofator associado ao elemento a12.

Pela definição temos:

cofatores8

 

Calculando o menor principal (menor complementar) D12, temos:

O elemento a12 é o número 5 da matriz A, vamos eliminar a sua linha e a sua coluna, obtendo o menor principal a seguir:

cofatores9

cofatores10

Substituído o menor principal D12 na definição temos:

cofatores11

Portanto o cofator de a12, é:

ã12 = 16

Matriz de cofatores

Chamamos de matriz dos cofatores, e representamos por C a matriz formada por todos os cofatores de uma matriz original A.

Exemplo:

Seja A a matriz original dada a seguir:

cofatores12

 

Vamos determinar a matriz dos “C” de cofatores associada a matriz original A.

A matriz C, dos cofatores pode ser escrita como segue:

cofatores13

 

Precisamos, portanto, calcular os cofatores ã11, ã12, ã21, ã22, associados aos elementos a11, a12, a21, a22, respectivamente.

Calculando os cofatores, obtemos:

 

cofatores14

Portanto a matriz C, dos cofatores associados a matriz original A será:

cofatores15

 

Os cofatores são utilizados para o cálculo do determinante de uma matriz quadrada, enquanto que a matriz de cofatores é utilizada no processo de inversão de matrizes quando utilizamos o método de inversão por matriz adjunta.

 

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