Matriz adjunta

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestrando em Física Teórica (UNICSUL, 2018-atualmente)

No artigo sobre o Teorema de Laplace aprendemos uma forma generalizada para calcular o determinante de matrizes quadradas de qualquer ordem. Nele também nos é apresentado a definição de cofatores. Recordemos:

Considere uma matriz quadrada . O determinante desta matriz é igual a soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha i ou de uma coluna j pelos seus respectivos cofatores Aij tais que:

Onde Mij é a submatriz de A, de ordem (n-1) que é obtida eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante de Mij é chamado de menor do elemento aij de A e o cofator de aij é menor com “sinal”.

É chamada de matriz adjunta de A, ou simplesmente adj A, a transposta da matriz dos cofatores Aij. Sendo assim podemos escrever:

adj A = (Aij)T

Vamos a um exemplo prático, seja uma matriz A dada por:

Obtendo os menores:

Calculando então a sua matriz dos cofatores, termo por termo como na fórmula conhecida:

E assim por diante para todos os termos de Aij:

Onde podemos então concluir que a matriz adjunta será dada por:

Teorema 1: Seja A uma matriz quadrada qualquer, então:

Onde I é a matriz identidade.

Teorema 2: Se , então vale a igualdade:

Onde A-1 é a matriz inversa de A.

Referências bibliográficas:

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7ª Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.

LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – 4ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.

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