Matriz Transposta

Por Maurício P. Marques Fernandes
Matriz é uma tabela de números disposta em linhas e colunas como a mostrada a seguir, que possui 3 linhas e 2 colunas.

matriz

Dentre as operações que podemos realizar com matrizes, uma delas é chamada de Matriz Transposta, indicada pela letra t sobrescrita à letra que representa a matriz.

Exemplos:

  • A transposta da matriz A é representada por At.
  • A transposta da matriz M é representada por Mt.

Não podemos confundir a notação de matriz transposta com a notação de matriz inversa, enquanto a matriz transposta utiliza a letra t sobrescrita à matriz, a inversa sobrescreve o número -1.

Representação

Matriz Transposta de A

Matriz Inversa de A

At

A-1

Determinar a transposta de uma matriz é reescrevê-la de forma que suas linhas e colunas troquem de posições ordenadamente, isto é, a primeira linha é reescrita como a primeira coluna, a segunda linha é reescrita como a segunda coluna e assim por diante, até que se termine de reescrever todas as linhas na forma de coluna.

Exemplo:

Determinar a matriz transposta da matriz A dada a seguir:

matriz transposta1

Temos três linhas na matriz dada, a linha 1, composta pelos números 1 e 3, a linha 2, composta pelos números 2 e 5 e a linha 3 composta pelos números -4 e 0.

Para escrever a transposta da matriz A reescreveremos a matriz A com as linhas 1, 2 e 3 como colunas 1, 2 e 3, obtendo então a transposta de A, isto é At.

matriz transposta2

Outros exemplos de Matrizes Transpostas:

matriz transposta3

Propriedades das matrizes transpostas

  1. A Transposta de uma matriz transposta é a matriz original, isto é, (At)t = A
  2. A Transposta da soma de duas matrizes é igual a soma das transpostas de cada uma das matrizes, isto é, (A + B)t = At + Bt
  3. A Transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas de cada uma das matrizes, em ordem inversa, isto é, (A . B)t = Bt . At
  4. A transposta do produto de um escalar k por uma Matriz é igual ao produto desse escalar pela transposta da matriz, isto é, (k . B)t = k . Bt
  5. A ordem da matriz transposta é inversa à ordem da matriz original. Por exemplo, se a matriz A é de ordem 3 por 2, isto é, A3x2, então a matriz transposta de A será de ordem 2 por 3, isto é, At2x3, conforme vemos a seguir:Seja a matriz matriz transposta4 . A transposta de A será matriz transposta5 .
  6. O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, isto é, det(M) = det(Mt). Como demonstramos no exemplo a seguir:Seja a matriz matriz transposta6 e sua transposta matriz transposta7, vamos:
    1. Calcular o determinante de M.
      matriz transposta8
    2. Calcular o determinante de Mt.
      matriz transposta9

    Concluímos então que det(M) = det(Mt)

Utilidade da matriz transposta

A matriz transposta é útil para a determinação de matriz inversa quando calculada pela fórmula  formula matriz inversa, onde M-1 é a matriz inversa de M e M é a matriz adjunta,  que nada mais é que a transposta da matriz dos cofatores calculada previamente.

Exemplo:

Seja B a matriz dos cofatores da matriz A, dada por matriz transposta10 e det(A) = 2, calcule a matriz inversa de A.

Como vimos, para calcular uma matriz inversa podemos utilizar a fórmula a seguir:

formula matriz inversa2

Como M é a transposta da matriz dos cofatores, então M = Bt.

Assim, matriz transposta11.

Substituindo M e det(A) na fórmula temos:

matriz transposta12

Multiplicando os elementos de M por ½ temos então a matriz inversa de A.

matriz transposta13