Médias (aritmética, geométrica, harmônica)

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

Média aritmética

A média aritmética é a mais conhecida entre as médias. Talvez o local onde ela é mais encontrada seja em salas de aula. Muitos professores a utilizam para calcular a nota final obtida por um aluno. As médias são utilizadas quando temos um conjunto de dados e queremos estimar um valor que represente esses dados. A média pode ser entendida como um valor central de determinados dados.

Existem dois tipos de média aritmética: simples e ponderada.

Média aritmética simples

A média aritmética simples é obtida dividindo a soma de todos os valores que temos pela quantidade de valores. Geralmente expressamos a média pelo símbolo \overline{X}.

Suponhamos que existam uma quantidade n de dados (x1, x2, x3, ..., xn) . A média entre esses dados será:

\overline{X} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n}

Exemplo:

Um aluno obteve as seguintes notas durante um bimestre: 9.2, 8.5 e 8.4. Qual será a média de suas notas?

Temos 3 notas. Basta somá-las e dividir este resultado por 3:

\overline{X} = \frac{9,2 + 8,5 + 8,4}{3} = \frac{26,1}{3} = 8,7

A média será 8.7

Média aritmética ponderada

A média ponderada considera “pesos” para cada item, ou seja, em um conjunto de dados, cada item recebe uma importância. Vamos supor que tenhamos um conjunto com n dados (x1, x2, x3, ..., xn), onde cada dado receberá um peso, respectivamente (p1, p2, p3, ..., pn).

Cada item será multiplicado pelo seu peso. A média será dada pela divisão entre esta soma e a soma dos pesos considerados. A média entre esses dados será representada por \overline{P} e será dada por:

\overline{P} = \frac{x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + ... + x_n p_n}{p_1 + p_2 + p_3 + ... + p_n}

Exemplo: Uma aluna fez uma prova e obteve nota 9.1 e um trabalho, com nota 8,7. A média considera que a prova tenha peso 6 e o trabalho peso 4. Assim, a média dessa aluna será:

\overline{P} = \frac{9,1 \cdot 6 + 8,7 \cdot 4}{6+4} = \frac{54,6 + 34,8}{10} = \frac{89,4}{10} = 8,94

A média dessa aluna será 8,94.

Média geométrica

A média geométrica entre um conjunto de n dados é a raiz n-ésima da multiplicação desses dados.

Considere um conjunto de n dados (x1, x2, x3, ..., xn). A média geométrica entre estes dados será:

\overline{X} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot ... \cdot x_n}

Exemplo. Qual a média geométrica entre 2, 8 e 32?

Temos três dados, então a média geométrica será a raiz cúbica de 2.8.32:

\overline{X} = \sqrt[3]{2 \cdot 8 \cdot 32} = \sqrt[3]{512} = 8

A média geométrica de 2, 8 e 32 será igual a 8.

Média harmônica

A média harmônica de um conjunto de n dados é obtida dividindo a quantidade de dados pela soma dos inversos dos dados.

Considerando um conjunto de n dados (x1, x2, x3, ..., xn), a média harmônica entre esses dados, indicada por H, será:

H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + ... + \frac{1}{x_n}}

Exemplo: qual a média harmônica entre 2, 5 e 10?

H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{3}{\frac{13}{15}} = 3 \cdot \frac{15}{13} = \frac{45}{13} \approx 3,46

Arquivado em: Matemática