Teorema de Laplace

Por Emerson Santiago
No campo da álgebra linear, o teorema de Laplace, assim denominado em homenagem ao matemático e astrônomo francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), é um teorema matemático utilizado para simplificar o cálculo de determinantes em matriz quadrada, proporcionando a possibilidade de decompô-lo em números menores. Determinante é o número que se associa a uma matriz quadrada; de modo geral, um determinante é indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antepondo a matriz o símbolo "det".

Para aplicar o teorema de Laplace é necessário escolher uma fila (linha ou coluna da matriz), adicionando desse modo os produtos dos elementos desta fila ao cofatores correspondentes. O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 será obtido pela igualdade da soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.
Determinante é o número que se associa a uma matriz quadrada

Desta forma, fixando , tal que , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice , variando de 1 até , .

Através do desenvolvimento do teorema de Laplace podemos desenvolver o determinante n X n-matriz depois de uma linha ou coluna. Assim, a seguir, teremos duas fórmulas.

O primeiro teorema de Laplace afirma que "o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer linha de seus complementos algébricos".

para toda a linha.

Da mesma forma, o segundo teorema de Laplace afirma que "o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer coluna para o seu complemento algébrico".

Assim, através da fórmula,

para qualquer coluna j

Conclui-se a partir daí que:

a) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos valores na diagonal.
b) O determinante de uma matriz triangular é ainda o produto da diagonal.
c) Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos na diagonal.

Um caso concreto de aplicação do Teorema de Laplace refere-se ao produto vetorial partindo de dois vetores "u" e "v":

temos então o produto vectorial de ambos como outro vetor:

Que se calcula com a seguinte determinante:

Desenvolvendo-se por meio do Teorema de Laplace:

Propriedades dos determinantes:

a) Quando todos os elementos de uma fila sejam linha ou coluna são nulos, o determinante dessa matriz será nulo.

b) Caso duas filas de uma matriz sejam iguais, então seu determinante é nulo.

c) O determinante de duas filas paralelas de uma matriz proporcionais será nulo.

d) Caso os elementos de uma matriz sejam compostos de combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

e) São iguais o determinante de uma matriz e sua equivalente transposta.

f) Multiplicando-se por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

g) determinante de uma matriz muda de sinal ao trocamos as posições de duas filas paralelas.

h) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Bibliografia:
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node52.html
http://www.colegioweb.com.br/matematica/teorema-de-laplace
http://w3.ualg.pt/~gmarques/Ficheiros/determinantes25-29-w.pdf