Álgebra linear

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

A álgebra linear é de fato uma das ferramentas mais importantes, versáteis e úteis da matemática. Também é considerada como conhecimento elementar não só para matemáticos, mas para diversos profissionais, tais como: engenheiros, economistas, físicos, cientistas da computação, programadores, estatísticos, biólogos, entre outros. Para iniciar os estudos em álgebra linear, é necessário ter um contato prévio com a geometria analítica, ter noções sobre sistemas de equações lineares, matrizes, determinantes e também sobre vetores. Uma vez habituado com estes temas, é possível aprender conteúdos mais aprofundados em álgebra linear.

As aplicações da álgebra linear podem ser encontradas em registros muito antigos de diversas civilizações como por exemplo, a utilização de sistemas lineares. Naturalmente, os estudiosos da época não sabiam o que era álgebra linear, mas motivado por suas necessidades em resolver problemas práticos como, medição de terras, distribuição de bens e heranças, levaram os pensadores a produzirem métodos que hoje consideram como parte da álgebra linear. Abaixo, um exemplo:

No Egito, um registro chamado Papiro de Ahmes, de cerca de 1650 a.c., nos traz uma coletânea de 84 problemas matemáticos com suas soluções. No chamado “problema de número 40” é enunciado:

Divida 100 sacos de cevada entre 5 homens em progressão aritmética de tal modo que a soma dos dois menores é um sétimo da soma dos três maiores”

Vamos resolver este problema utilizando um sistema linear:

Seja x a menor quantidade obtida por algum dos homens e y a diferença comum entre os termos da progressão aritmética, então os outros 4 homens recebem: x+y, x+2y, x+3y e x+4y. Segundo as duas condições apresentadas no problema, teremos:

Somando-se então as incógnitas obtemos o sistema:

Resolvendo este sistema encontramos os valores: e . Sendo assim, as quantidades entregues a cada um dos cinco homens são 10/6, 65/6, 120/6, 175/6 e 230/6 sacos.

A álgebra linear se destaca pela sua funcionalidade através da história da matemática. Vejamos exemplos atuais onde ela pode ser aplicada:

  • Na ciência da computação, a computação gráfica é repleta de álgebra linear. Manipulação de imagens como o redimensionamento de uma foto, a coloração de ícones em um computador e renderização de gráficos em jogos são possíveis pelo que chamamos de transformações lineares.
  • A teoria dos grafos, ramo que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto numérico, é baseada na álgebra linear. O matemático Leonard Euler contribuiu para esta teoria na tentativa de resolver o famoso “problema das pontes de Königsberg”. A teoria evoluiu e é palco de aplicações como o desenvolvimento de sistemas de navegação mais eficientes além de diversas outras aplicações computacionais.

Existem ainda mais aplicações da álgebra linear em modelos econômicos preditivos, na medicina com a tomografia computadorizada, no desenvolvimento de jogos, na administração florestal, na internet com motores de busca mais eficientes e muito mais. Sem dúvida, suas aplicações são presentes em diversos ramos e profissões, logo vale a pena aprender esta disciplina sempre visando suas aplicações. Há também uma abordagem pura da álgebra linear, aquela em que os matemáticos geralmente trabalham. Nesta ótica, eles exploram conceitos “mais algébricos” com aspectos geométricos e topológicos da teoria.

Referências Bibliográficas

COELHO, Flávio Ulhoa; LOURENÇO, Mary Lilian. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: EDUSP, 2013.

LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, 2011

ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear Com Aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2012.

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