Sistemas de equações

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

Para melhor compreensão do estudo de sistemas de equações, vamos apresentar a definição formal do que é uma equação linear e posteriormente a construção e algumas ferramentas para solução de sistemas de equações.

Equação linear

Definimos uma equação linear toda aquela que possui n incógnitas, coeficientes (ou variáveis) e um termo independente b. Ou seja:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + ... + a_n x_n = b

Onde existem soluções possíveis para uma equação de incógnitas (k_1, k_2, k_3, ..., k_n). As mesmas só serão validas, se, e somente se, a igualdade abaixo for verdadeira:

a_1 k_1 + a_2 k_2 + a_3 k_3 + ... + a_n k_n = b

Sistema de equações lineares

É chamado de sistema de equações um conjunto de duas ou mais equações lineares. A forma geral de um sistema linear é dada por:

\begin{cases}a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + ... a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + ... a_{2n} x_n = b_2 \\a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + a_{m3} x_3 + ... a_{mn} x_n = b_m\end{cases}

Onde os termos acima:

  • x1, x2, x3, ..., xn  são as incógnitas do sistema;
  • a11, a12, ..., amn são as variáveis dependentes, ou coeficientes do sistema;
  • b1, b2, ..., bm são os termos independentes, as constantes.

Note que também é possível escrever um sistema na forma de um produto de matrizes. Sendo assim, dizemos que um sistema de equações lineares pode ser expresso por:

Dadas as matrizes A, X e B tais que:

O produto A.X = B será:

Exemplo 1) Seja o sistema linear de duas incógnitas e duas variáveis \begin{cases}2x+y =4\\3x-y=7\end{cases} podemos relacioná-lo da seguinte maneira:

\begin{cases}2x+y =4\\3x-y=7\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a_{11}x + a_{12}y = b_1\\a_{21}x + a_{22}y = b_2\end{cases}

Logo, podemos dizer que:

a11 = 2, a12 = 1, a21 = 3, a22 = -1, x e y são as variáveis, b1 = 4 e b2 = 11.

Escrevendo este sistema na forma do produto de matrizes teremos:

\left[\begin{array}{rr}2&1\\3&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4\\11\end{array}\right]

E o seu conjunto solução será dado por (x, y) = (3, -2)

Exemplo 2) Dado o sistema \begin{cases}x+5y+3z&=11\\2x+y-z&=4\\-3x+4y+2z&=5\end{cases} relacionamos então como:

\begin{cases}x+5y+3z&=11\\2x+y-z&=4\\-3x+4y+2z&=5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3\end{cases}

Por produto de matrizes escrevemos:

\left[\begin{array}{lcr}1&5&3\\2&1&-1\\-3&4&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}11\\4\\5\end{array}\right]

Seu conjunto solução será (x, y, z) = (1, 2, 0)

OBS: Em alguns livros, é possível encontrar a notação em que a matriz X, acima citada, é chamada de vetor.

Classificação de sistemas

1) Sistema Possível e Determinado (SPD)

Um SPD é todo aquele que possui apenas uma solução, em outras palavras, existe apenas uma solução do tipo (k1, k2, k3, ..., kn).

2) Sistema Possível e Indeterminado (SPI)

Um SPI é um sistema que possui infinitas soluções.

3) Sistema Impossível (SI)

Um SI é aquele em que não existem soluções (k1, k2, k3, ..., kn).

4) Sistema Linear Normal

É chamado de normal todo o sistema em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Se fossem representados na forma matricial, então a matriz referente às variáveis dependentes (a matriz A) seria uma matriz quadrada, onde o número de linhas é igual ao de colunas, cujo seu determinante seria diferente de zero.

det A \neq 0

5) Sistema Linear Homogêneo:

Um sistema homogêneo é todo aquele em que b1 = b2 = ... = b= 0. Admitindo sempre uma única solução do tipo (0, 0, 0, ..., 0).

6) Sistema Escalonado

Um dos métodos de solução de sistemas lineares, também chamado de eliminação de Gauss, consiste em manipularmos as equações de forma que possamos eliminar as variáveis até que o sistema fique mais simples de resolver. Manipular as equações significa que podemos somar umas com as outras, multiplicar uma equação inteira por números reais, dividir equações entre si, enfim, qualquer operação, desde que feita sobre uma equação inteira não afetará no seu resultado.

Em resumo, um sistema chamado escalonado é aquele que pode sofrer a permutação entre suas equações, multiplicado, dividido, somado, subtraído por qualquer equação do sistema ou números reais diferentes de zero. Um sistema escalonado se encontra na forma de:

Referências Bibliográficas

COELHO, Flávio U; LOURENÇO, Mary L. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: EDUSP, 2013

LIPSON, Marc; SEYMOUR, Lipschutz. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, 2011

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