Seno

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo o Seno de um ângulo

O seno de um ângulo é a razão entre o Cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. Assim, a relação seno depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo α:

sen(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto a }\alpha}{\text{hipotenusa}}

sen(\alpha) = \frac{AB}{BC}

sen(\alpha) = \frac{c}{a}

Seno dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor do seno é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°. Vamos ver as deduções:

Considere um triângulo equilátero de lado x.

sen(30^o) = \frac{\frac{x}{2}}{x} = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2}

sen(60^o) = \frac{h}{x}

Como o triângulo é equilátero, a medida da altura será: h = \frac{x\sqrt{3}}{2}. Assim:

sen(60^0) = \frac{\frac{x\sqrt{3}}{2}}{x} = \frac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Para o sen(45^o) teremos:

sen(45^o) = \frac{x}{x\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

sen(45^o) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Podemos organizar a seguinte tabela:

α 30o 45o 60o
sen(α) \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. O seno de mede?

sen(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto a }\alpha}{\text{hipotenusa}}

sen(\alpha) = \frac{6}{10}

sen(\alpha) = 0,6

Função seno

Definimos a função seno como:

f(x) = sen(x)

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função seno tem imagem [-1,1], ou seja -1 ≤ sen(x) ≤ 1, para todo x real.

O seno de um ângulo sempre estará sob o eixo das ordenadas (y). Nesse sentido, o seno de um ângulo será sempre positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes

Gráfico da função seno

Vamos ilustrar o gráfico da função seno. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x f(x) = sen(x)
0 0
\frac{\pi}{2} 1
\pi 0
\frac{3\pi}{2} -1
2\pi 0

Exemplos

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que sen(40^o) = 0,64.

sen(40^o) = \frac{x}{6}

0,64 = \frac{x}{6}

x = 6 \cdot 0,64

x = 3,84

Referências bibliográficas:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

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