Razões trigonométricas

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

As razões trigonométricas são a base para o estudo da trigonometria e são obtidas pelas proporções dos lados de um triangulo retângulo. Como sabemos, um triangulo é retângulo quando um de seus ângulos é reto, ou seja, tem 90º:

Num triangulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto (neste caso o lado BC cuja medida é igual a 𝑎, na figura) é chamado de hipotenusa. Já os outros dois lados, AB e AC, são chamados de catetos e têm medidas iguais a 𝑐 e 𝑏, respectivamente.

Lembrando também que, num triângulo retângulo vale o teorema de Pitágoras:

Agora, para obtermos as relações trigonométricas no nosso triangulo ABC precisamos inicialmente fixar um dos ângulos agudos. Veja, na figura, o ângulo 𝜃, evamos obter as relações trigonométricas com base neste ângulo:

Seno

O seno de um ângulo agudo é dado pela razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa. Usando o ângulo 𝜃 como referência temos:

Cosseno

O cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente ao ângulo agudo e a hipotenusa. Com o ângulo 𝜃 teremos:

Tangente

Já a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do triangulo 𝐴𝐵𝐶, logo:

Existem ainda outras razões trigonométricas que podem ser obtidas pelas definições de seno, cosseno e tangente. Algumas delas, ainda fixando o ângulo 𝜃, são:

Cotangente

Secante

Cossecante

Relação Fundamental da Trigonometria

Ainda usando o nosso triangulo retângulo como exemplo, podemos obter, a partir do teorema de Pitágoras aquilo que chamamos de relação fundamental da trigonometria. Veja:

Como,

Podemos substituir 𝑐 e 𝑏, em função de seno e cosseno, na equação do teorema de Pitágoras:

Por fim:

Que é a relação fundamental da trigonometria.

Senos, cossenos e tangentes de ângulos notáveis:

30º 45º 60º
Seno
Cosseno
Tangente 1

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