Tangente

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações, são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo a tangente de um ângulo

A tangente de um ângulo é a razão entre o Cateto Oposto e o Cateto adjacente a esse ângulo. Assim, a relação tangente depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo :

Tangente dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da tangente é facilmente calculável. São eles 30°, 45° e 60°. Vamos ver as deduções.

Como o triângulo é equilátero, a medida da altura será:

Para o tg(45º) teremos:

Podemos organizar a seguinte tabela:

30o 45o 60o
1

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A tangente de mede?

Função tangente

Definimos a função tangente como:

,

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função tangente tem imagem Real, ou seja, é válida para todo x real.

A tangente de um ângulo sempre estará paralela ao eixo das ordenadas (y). Nesse sentido, a tangente de um ângulo será sempre positiva no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2º e 4º quadrantes

Gráfico da função tangente

Vamos ilustrar o gráfico da função tangente. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x f(x) = tg(x)
0 1
0
1

.

As retas onde a função tangente não existe, ou seja, são chamadas de assíntotas.

Exemplos:

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que .

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

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