Tangente

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações, são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo a tangente de um ângulo

A tangente de um ângulo é a razão entre o Cateto Oposto e o Cateto adjacente a esse ângulo. Assim, a relação tangente depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo \alpha:

tg(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto a }\alpha}{\text{catego adjacente a }\alpha}

tg(\alpha) = \frac{AB}{AC}

tg(\alpha) = \frac{c}{b}

Tangente dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da tangente é facilmente calculável. São eles 30°, 45° e 60°. Vamos ver as deduções.

Como o triângulo é equilátero, a medida da altura será:

h = \frac{x \sqrt{3}}{2}

tg(30^o) = \frac{x/2}{h} = \frac{x/2}{\frac{x \sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{x \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

tg(60^o) = \frac{h}{x/2} = \frac{\frac{x \sqrt{3}}{2}}{x/2} = \frac{x \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{x} = \sqrt{3}

Para o tg(45º) teremos:

tg(45^o) = \frac{x}{x} = 1

Podemos organizar a seguinte tabela:

\alpha 30o 45o 60o
tg(\alpha) \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3}

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A tangente de \alpha mede?

tg(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto a }\alpha}{\text{catego adjacente a }\alpha}

tg(\alpha) = \frac{6}{8} = 0,75

Função tangente

Definimos a função tangente como:

f(x) = tg(x), x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função tangente tem imagem Real, ou seja, é válida para todo x real.

A tangente de um ângulo sempre estará paralela ao eixo das ordenadas (y). Nesse sentido, a tangente de um ângulo será sempre positiva no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2º e 4º quadrantes

Gráfico da função tangente

Vamos ilustrar o gráfico da função tangente. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x f(x) = tg(x)
0 1
\frac{\pi}{2} \not\exists
\pi 0
\frac{3\pi}{2} \not\exists
2\pi 1

.

As retas onde a função tangente não existe, ou seja, x = \frac{\pi}{2} + k\pi são chamadas de assíntotas.

Exemplos:

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que tg(30^o) = \frac{\sqrt{3}}{3}.

tg(30^o) = \frac{6}{x}

\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6}{x}

x\sqrt{3} = 18

x = \frac{18}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

Arquivado em: Trigonometria