Cosseno

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através dessas relações e suas aplicações são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo o cosseno de um ângulo

O cosseno de um ângulo é a razão entre o Cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. Assim, a relação cosseno depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo \alpha:

cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente a }\alpha}{\text{hipotenusa}}

cos(\alpha) = \frac{AC}{BC}

cos(\alpha) = \frac{b}{a}

Cosseno dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor do cosseno é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°. Vamos ver as deduções:

cos(60o):

Considere um triângulo equilátero de lado x.

cos(60^o) = \frac{x/2}{x} = \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2}

cos(30o):

cos(30^o) = \frac{h}{x}

Como o triângulo é equilátero, a medida da altura será:

h = \frac{x \sqrt{3}}{2}

Assim:

cos(30^o) = \frac{\frac{x \sqrt{3}}{2}}{x} = \frac{x \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Para o cos(45o) teremos:

cos(45^o) = \frac{x}{x \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

cos(45^o) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Podemos organizar a seguinte tabela:

\alpha 30o 45o 60o
cos(\alpha) \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2}

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. O cosseno de \alpha mede:

cos(\alpha) = \frac{8}{10}

cos(\alpha) = 0,8

Função cosseno

Definimos a função cosseno como f(x) = cos(x).

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função cosseno tem imagem [-1,1], ou seja -1 ≤ cos(x) ≤ 1, para todo x real.

O cosseno de um ângulo sempre estará sob o eixo das abscissas (x). Nesse sentido, o cosseno de um ângulo será sempre positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º quadrantes.

Gráfico da função cosseno

Vamos ilustrar o gráfico da função cosseno. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x f(x) = cos(x)
0 1
\frac{\pi}{2} 0
\pi -1
\frac{3\pi}{2} 0
2\pi 1

Exemplos:

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que cos(30^o) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

cos(30^o) = \frac{x}{10}

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10}

2x = 10\sqrt{3}

x = \frac{10\sqrt{3}}{2}

x = 5\sqrt{3}

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

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