Lei de Taylor

Ilustração: http://www.gta.ufrj.br/grad/

É bastante natural e corriqueiro o fato de efetuarem-se movimentos bruscos na extremidade de uma corda mantida reta. Após este movimento ela é percorrida por um pulso de onda. Dependendo da intensidade da força com que a corda é levada ao movimento, a velocidade do pulso que se propaga pode ser maior ou menor. Sendo a corda homogênea e flexível, o pulso mantém praticamente a mesma forma, à medida que se propaga. Outro fator determinante na velocidade do pulso é a densidade da corda. Quanto mais espessa for a corda, menor será a velocidade. Talvez por este motivo não seja aconselhável brincar de pular corda utilizando uma que seja utilizada em cargas de caminhões!

A Lei de Taylor (ou equação de Taylor) explica, matematicamente, esta relação entre a força aplicada na corda, a densidade linear de massa da corda e a velocidade adquirida pela corda em uma determinada oscilação. A expressão é a seguinte:

Onde:

  • V é a velocidade da onda;
  • τ é a força (tração) na corda;
  • µ é a razão entre a massa (m) e o comprimento (l) na corda (densidade linear de massa da corda).

A fórmula pode ser demonstrada da seguinte forma:

Tomando por base as coordenadas cartesianas, a força de tração (τ) pode ser escrita em termos de suas componentes: No eixo x, τx = τ.cos(Θ); no eixo y,  τy = τ.sen(Θ).

Percebe-se facilmente que as componentes τx estão em sentidos opostos, portanto a soma das duas é igual a zero. Restam apenas as duas componentes τy = τ.sen(Θ) gerando uma força resultante que está orientada na vertical para baixo com módulo igual a:

Fr = 2.τ.sen(Θ)

Considerando Θ≈0, pode-se escrever que sen(Θ) ≈Θ. Logo, a equação acima pode ser escrita como:

Fr = 2.τ.Θ

Mas 2.Θ = (dl)/r (definição que provêm da geometria).

Então: Fr = τ . (dl) / r

Pela 2ª Lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica),. Como a figura formada pela onda é uma curva, a força é de natureza centrípeta. Sendo assim, a expressão da 2ª Lei de Newton (pra este caso) assume a seguinte forma:

dm.acp= τ . (dl)/r

mas

(dl)/(dm) = µ

e

acp= v2/r

Após as substituições e os ajustes necessários, a expressão fica igual a:

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